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理科数学专题06--数列1.设为等差数列的前项和，若，，则A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.2.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.3.等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为A．-24B．-3C．3D．8【答案】A【解析】】设等差数列的公差为，，，，所以，，故选A.4.已知等差数列前9项的和为27，，则A．100B．99C．98D．97【答案】C【解析】试题分析：由已知，所以故选C.【考点】等差数列及其运算【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.5.已知等比数列满足，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，选B.6.记为等差数列的前n项和．已知，则A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．7.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（）A．16B．8C．4D．2【答案】C【解析】【分析】利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．【详解】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。8.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通项公式为an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.9.等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．【答案】（1）或.（2）.【解析】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m。详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题。10.为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过x的最大整数，如.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1000项和.【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项，再根据已知条件求；（Ⅱ）用分段函数表示，再由等差数列的前项和公式求数列的前1000项和．试题解析：（Ⅰ）设的公差为，据已知有，解得所以的通项公式为（Ⅱ）因为所以数列的前项和为【考点】等差数列的通项公式、前项和公式，对数的运算【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.视频11.已知数列的前n项和，其中．（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式，得到数列的递推公式，即可得到是等比数列及的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用表示前项和，结合的值，建立方程可求得的值．试题解析：（Ⅰ）由题意得，故，，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是.（Ⅱ）由（Ⅰ）得.由得，即.解得.【考点】数列的通项与前项和的关系，等比数列的定义、通项公式及前项和.【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明（常数）；（2）中项法，即证明．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．12.为数列{}的前项和.已知＞0，=.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设,求数列{}的前项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，∵a12+2a1＝4a1+3，∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，∴bn（），∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．13.已知数列的前项和为，其中为常数．（1）证明：；（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（I）对于含递推式的处理，往往可转换为关于项的递推式或关于的递推式．结合结论，该题需要转换为项的递推式．故由得．两式相减得结论；（II）对于存在性问题，可先探求参数的值再证明．本题由，，，列方程得，从而求出．得，故数列的奇数项和偶数项分别为公差为4的等差数列．分别求通项公式，进而求数列的通项公式，再证明等差数列．试题解析：（I）由题设，，．两式相减得，．由于，所以．（II）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；是首项为3，公差为4的等差数列，．所以，．因此存在，使得为等差数列．【考点定位】1、递推公式；2、数列的通项公式；3、等差数列．14.已知数列满足.(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)证明：.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】试题分析：本题第（1）问，证明等比数列，可利用等比数列的定义来证明，之后利用等比数列，求出其通项公式；对第（2）问，可先由第（1）问求出，然后转化为等比数列求和，放缩法证明不等式.试题解析：（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.（2）由（1）知：，所以，因为当时，，所以，于是=，所以.【易错点】对第（1）问，构造数列证明等比数列不熟练；对第（2）问，想不到当时，，而找不到思路，容易想到用数学归纳法证明而走弯路.考点：本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识，考查同学们的逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一，熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.视频15.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；（2）求{an}和{bn}的通项公式.【答案】（1）见解析；（2），。【解析】【分析】(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果。【详解】(1)由题意可知，，，，所以，即，所以数列是首项为、公比为的等比数列，，因为，所以，数列是首项、公差为的等差数列，。(2)由(1)可知，，，所以，。【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。16.记为数列的前项和，若，则_____________．【答案】【解析】分析：首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.详解：根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以-1为首项，以2为公布的等比数列，所以，故答案是.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.17.（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．【答案】【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有，解得，数列的前n项和，裂项可得，所以．点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．18.设等比数列满足a1+a2=–1,a1–a3=–3，则a4=___________．【答案】-8【解析】由题意可得：，解得：，则19.（2016新课标全国Ⅰ理科）设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2an的最大值为____________.【答案】【解析】试题分析：设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.【考点】等比数列及其应用【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做.20.设是数列的前项和，且，，则__________．【答案】【解析】原式为，整理为：，即，即数列是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以，即.【点睛】这类型题使用的公式是，一般条件是，若是消，就需当时构造，两式相减，再变形求解；若是消，就需在原式将变形为：，再利用递推求解通项公式.视频21.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．【答案】.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．22.记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.【答案】4.【解析】【分析】根据已知求出和的关系，再结合等差数列前n项和公式求得结果.【详解】因，所以，即，所