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理科数学专题17--不等式选讲1.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.2.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．3.[选修4—5：不等式选讲]设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可。（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值详解：（1）的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．点睛：本题主要考查函数图像的画法，考查由不等式求参数的范围，属于中档题。4.已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）分，，三种情况解不等式；（2）的解集包含，等价于当时，所以且，从而可得．试题解析：（1）当时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的学科&网最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.点睛:形如(或)型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，(此处设)三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．5.已知，，，证明：(1)；(2).【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a3+b3＝2转化为ab，再由均值不等式可得：ab≤，即可得到（a+b）3≤2，问题得以证明．【详解】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（a•a5+b•b5）2＝（a3+b3）2＝4，当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；（2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，由均值不等式可得：ab≤∴（a+b）3﹣2，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．6.[选修45：不等式选讲]已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围．【答案】（1）的解集为.（2）的取值范围为.【解析】（1）当时，无解；当时，由得，，解得当时，由解得.所以的解集为.（2）由得，而且当时，.故m的取值范围为7.选修45：不等式选讲已知函数f(x)=∣x+1∣∣2x3∣.（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出y=f(x)的图像；（Ⅱ）求不等式∣f(x)∣﹥1的解集.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解试题解析：（Ⅰ）的图像如图所示.（Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为，所以的解集为.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.8.选修4−5：不等式选讲已知函数，M为不等式f（x）＜2的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．试题解析：（Ⅰ）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此【考点】绝对值不等式，不等式的证明【名师点睛】形如（或）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为，，（此处设）三个部分，在每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数和的图像，结合图像求解．9.选修4−5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数当时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用等价不等式求解即可；（Ⅱ）根据条件首先将问题转化为求解的最小值，此最值可利用三角形绝对值不等式求得，再根据恒成立的意义建立关于的不等式求解．试题解析：（Ⅰ）当时，.解不等式得.因此的解集为.（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.①当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.【考点】绝对值不等式的解法，三角形绝对值不等式的应用．【易错警示】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对，当且仅当时，等号成立，对，当且仅当且时左边等号成立，当且仅当时右边等号成立．10.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为；(Ⅱ)由题意可得面积函数为为，求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析：（I）当时，化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得。所以的解集为。（II）由题设可得，所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为。由题设得，故。所以a的取值范围为11.（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若，则；（Ⅱ）是的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．考点：推理证明．12.若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，利用基本不等式的和积转化可求，利用基本不等式可将转化为，由不等式的传递性，可求的最小值；（Ⅱ）由基本不等式可求的最小值为，而，故不存在．试题解析：（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．【考点定位】基本不等式．视频13.设函数（1）证明：；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.考点：本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.14.[选修4-5：不等式选讲]已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详解】（1）当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.15.[选修4-5：不等式选讲]已知（1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，将原不等式化为，分别讨论，，三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论和两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当时，原不等式可化为；当时，原不等式可化为，即，显然成立，此时解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为；（2）当时，因为，所以由可得，即，显然恒成立；所以满足题意；当时，，因为时，显然不能成立，所以不满足题意；综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.16.设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.【答案】(1)；(2)见详解.【解析】【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.【详解】(1)故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立所以的最小值为.(2)因为，所以.根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.所以成立，所以有或.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.