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专题突破练11三角变换与解三角形1.在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.2.在△ABC中,已知A=45°,cosB=45.(1)求cosC的值;(2)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长.3.(2019河南南阳高三联考,文17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,√(acosC-b)=asinC.(1)求角A;(2)若点D为BC的中点,且AD的长为√,求△ABC面积的最大值.4.如图,在梯形ABCD中,已知∠A=,∠B=,AB=6,在AB边上取点E,使得BE=1,连接EC,ED.若∠CED=,EC=√.(1)求sin∠BCE的值;(2)求CD的长.5.(2019辽宁鞍山一中高三一模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,S为△ABC的面积,sin(B+C)=-.(1)证明:A=2C;(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求S的取值范围.6.(2019福建厦门高三一模,理17)在平面四边形ABCD中,∠ABC=,∠ADC=,BC=2.(1)若△ABC的面积为√,求AC;(2)若AD=2√,∠ACB=∠ACD+,求tan∠ACD.7.(2019河北衡水中学高三五模,文17)已知函数f(x)=msinωx-cosωx(m0,ω0)的最大值为2,且f(x)的最小正周期为.(1)求m的值和函数f(x)的单调递增区间;(2)设角A,B,C为△ABC的三个内角,对应边分别为a,b,c,若f=0,b=1,求√a-c的取值范围.8.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.若acosB=3,bcosA=1,且A-B=,(1)求边c的长;(2)求角B的大小.参考答案专题突破练11三角变换与解三角形1.解(1)在△ABC中,∵cosB=-,∴B(,),∴sinB=√-cos4√由正弦定理,得sss4√,∴sinA=√∵B(,),∴A(,),∴A=(2)在△ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=√(-)4√√4如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC交AC于点D.∵sinC=,∴h=BC·sinC=7√4√,∴AC边上的高为√2.解(1)∵cosB=45,且B∈(°,°),∴sinB=√-cos5cosC=cos(°-A-B)=cos(5°-B)=cos5°cosB+s5°sB=-√45√5=-√(2)由(1)可得sinC=√-cos√-(-√)√由正弦定理得ss,即√√,解得AB=14.在△BCD中,BD=7,CD2=72+102-2×7×1045=37,所以CD=√3.解(1)由正弦定理,可得√(sinAcosC-sinB)=sinAsinC.∵A+B+C=,∴B=-(A+C).√[sinAcosC-sin(A+C)]=sinAsinC,即-√cosAsinC=sinAsinC,∵0C,∴sinC0.∴tanA=-√∵0A,∴A=(2)∵AD为BC边上的中线,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗).又AD=√,∴3=4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=4(b2+c2-bc)4,∴bc≤,当且仅当b=c时取得等号.∴S△ABC=bcsinA=√4bc≤√,当且仅当b=c时取得等号,∴△ABC面积的最大值为3√4.解(1)在△CBE中,由正弦定理得ss∠,sin∠BCE=s√√√4(2)在△CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BE·CBcos,即7=1+CB2+CB,解得CB=2.由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC,cos∠BEC=√,sin∠BEC=√,sin∠AED=sin+∠BEC=√√√√4,cos∠AED=5√4,在Rt△ADE中,AE=5,=cos∠AED=5√4,DE=2√在△CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CE·DEcos=49,∴CD=7.5.(1)证明由sin(B+C)=-,即sinA=-,∴sinA=s-,sinA≠,∴a2-c2=bc.∵a2=b2+c2-2bccosA,∴a2-c2=b2-2bccosA.∴b2-2bccosA=bc.∴b-2ccosA=c.∴sinB-2sinCcosA=sinC.∴sin(A+C)-2sinCcosA=sinC.∴sinAcosC-cosAsinC=sinC.∴sin(A-C)=sinC.∵A,B,C∈(,),∴A=2C.(2)解∵A=2C,∴B=-3C.∴sinB=sin3C.ss,且b=2,∴a=ss,∴S=absinC=sss()ssscoscoss4-4-∵△ABC为锐角三角形,{∈,,-∈,∈,,,∴C∈4,∴tanC∈√,1.∵S=4-为增函数,∴S∈√,2.6.解(1)在△ABC中,因为BC=2,∠ABC=,S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=√,所以√AB=√,解得AB=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=7,所以AC=√(2)设∠ACD=α,则∠ACB=∠ACD+=α+如图.在Rt△ACD中,因为AD=2√,所以AC=s√s,在△ABC中,∠BAC=-∠ACB-∠ABC=-α,由正弦定理,得s∠s∠,即s-√√s,所以2sin-α=sinα.所以2√cosα-sinα=sinα,即√cosα=2sinα.所以tanα=√,即tan∠ACD=√7.解(1)f(x)=msinωx-cosωx=√sin(ωx+φ),其中tanφ=-因为f(x)的最大值为2,所以√=2.又因为m0,所以m=√又因为f(x)的最小正周期为,所以ω==2.所以f(x)=√sin2x-cos2x=2sin2x-.令2k-2x-2k+,可得k-x≤k+(k∈Z),所以f(x)的单调递增区间为k-,k+(k∈Z).(2)因为f=2sinB-=0,所以B=由正弦定理sss可得a=2sinA,c=2sinC.√a-c=√sinA-sinC=√sinA-sinA+=sinA-.因为0A5,所以-A-所以-sinA-≤.所以√a-c的取值范围是-,1.8.解(1)acosB=3,a-=3,化为a2+c2-b2=6c,①bcosA=1,b-=1,化为b2+c2-a2=2c.②联立①②解得2c2=8c,即c=4.(2)由(1)得到的c=4代入①可得a2-b2=8.又A-B=,∴A=B+,C=-(A+B)=-(),可得sinC=sin()由正弦定理可得ss4s,∴a=4s()s(),b=4ss()∴a2-b2=8⇔16sin2()-16sin2B=8sin2(),∴1-cos()-(1-cos2B)=sin2(),即cos2B-cos()=sin2(),∴sin()=sin2(),∴sin()=0或sin2B+=1,B(,5),解得B=