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专题突破练15专题四数列过关检测一、选择题1.(2019四川峨眉山高三高考适应性考试)在等差数列{an}中,a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,则数列{an}的前11项和等于()A.66B.132C.-66D.-1322.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2=-1,S4=-5,则S6=()A.-9B.-21C.-25D.-633.(2019辽宁朝阳重点高中高三第四次模拟)在等比数列{an}中,a1a2=1,a3a6=9,则a2a4=()A.3B.±3C.√D.±√4.数列{an}的首项a1=1,对于任意m,n∈N*,有an+m=an+3m,则{an}前5项和S5=()A.121B.25C.31D.355.(2019山东潍坊高三5月三模)已知等差数列{an}的公差和首项都不为零,且a2,a4,a8成等比数列,则=()A.B.C.D.26.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.67.(2019山东省实验中学等四校高三联合考试)已知等差数列{an}的公差不为零,Sn为其前n项和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5=()A.15B.-15C.30D.258.设等差数列{an}满足3a8=5a15,且a10,Sn为其前n项和,则数列{Sn}的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S269.(2019北京通州区三模)三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣,创造并发展了许多算法,展现了其聪明才智.他在《九章算术》“盈不足”一章的第19题的注文中给出了一个特殊数列的求和公式.这个题的大意是:一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地,长安与齐地相距3000里(1里=500米),良马第一天走193里,以后每天比前一天多走13里.驽马第一天走97里,以后每天比前一天少走半里.良马先到齐地后,马上返回长安迎驽马,问两匹马在第几天相遇()A.14天B.15天C.16天D.17天二、填空题10.已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2an-2n,则Sn=.11.(2019北京通州区三模)设{an}是等比数列,且a2a4=a5,a4=27,则{an}的通项公式为.12.(2019广东深圳高级中学高三适应性考试)在数列{an}中,a1=,an+1=an+(n∈N*),则a2019的值为.三、解答题13.已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:--+…+-1.14.(2019北京丰台高三上学期期末练习)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a2=b3=4,a6=b5=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.15.(2019江西上饶重点中学六校高三第二次联考)已知数列{an}满足对任意的正整数n,k都有an+k+an-k=2an(nk),且该数列前三项依次为,又已知数列{bn}的前n项和为Sn,且b1=1,bn+1=Sn(n≥,(1)求{an},{bn}的通项公式;(2)令cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案专题突破练15专题四数列过关检测1.D解析因为a3,a9是方程x2+24x+12=0的两根,所以a3+a9=-24.又a3+a9=-24=2a6,所以a6=-12.S11==-132.故选D.2.B解析由题意,S2=a1+a2=-1,S4-S2=a3+a4=(a1+a2)q2=-4,q2=4,S6=S2+S4q2=-1+(-5)×4=-21.3.A解析设等比数列{an}的公比为q,因为a1a2=10,所以q0.又a3a6=9,所以a2a4=√√=3.故选A.4.D解析当m=1时,由an+m=an+3m,得an+1-an=3,∴数列{an}是首项a1=1,公差d=3的等差数列,∴S5=5×1+5×4×3=35.5.B解析设等差数列的首项为a1,公差为d,则a2=a1+d,a4=a1+3d,a8=a1+7d,因为a2,a4,a8成等比数列,故=(a1+d)(a1+7d),整理得到d2=a1d.因为d≠,所以d=a1,故an=na1.故故选B.6.C解析∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,∴am=Sm-Sm-1=0-(-2)=2,am+1=Sm+1-Sm=3-0=3.∴d=am+1-am=3-2=1.∵Sm=ma1+-1=0,∴a1=--又=a1+m×1=3,∴--+m=3.∴m=5.故选C.7.D解析设等差数列{an}的公差为d(d≠.由题意得,{,,解得{,∴S5=5×1+=25.故选D.8.C解析设等差数列{an}的公差为d,∵3a8=5a15,∴3(a1+7d)=5(a1+14d),即2a1+49d=0.∵a10,∴d0,∴等差数列{an}单调递减.∵Sn=na1+-d=n(-)-d=(n-25)2-d.∴当n=25时,数列{Sn}取得最大值,故选C.9.C解析记良马每天所走路程构成的数列为{an},驽马每天所走路程构成的数列为{bn},由题意可得:an=193+13(n-1)=180+13n,bn=97-(n-1)=-n+,设经过n天两匹马相遇,则有6000,即-6000,整理得5n2+227n≥,当n≥时满足题意,因此两匹马在第16天相遇.故选C.10.n·n解析∵Sn=2an-2n=2(Sn-Sn-1)-2n,整理得Sn-2Sn-1=2n,等式两边同时除以2n,则--=1.又S1=2a1-2=a1,可得a1=S1=2,∴数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,所以=n,所以Sn=n·2n.11.an=3n-1,n∈N*解析设等比数列{an}的公比为q,因为a2a4=a5,a4=27,所以a4=a2q2=q2=q3=27,解得q=3,所以a1==1,因此,an=3n-1,n∈N*.故答案为an=3n-1,n∈N*.12.1解析因为an+1=an+(n∈N*),所以an+1-an=,a2-a1=1-,a3-a2=,……a2019-a2018=,累加,可得a2019-a1=1-,a2019-=1-,所以a2019=1.13.(1)解设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.由a1=3,a3=9,得log22+2d=log28,即d=1.∴log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.(2)证明--,--+…+-=+…+=--=1-1.14.解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由题意得{,,解得{,,故等差数列{an}的通项公式an=1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列{bn}的公比为q.由题意得{,,解得{,,∴b2n-1=b1q2n-2=b1-=4n-1,∴b1+b3+b5+…+b2n-1=---15.解(1)由题意知,数列{an}为等差数列.故,解得x=2.∴a1=4,d=1,an=n+3.由bn+1=Sn(n≥可知bn=Sn-1(n≥,两式相减得bn+1=2bn(n≥.当n=1时,b1=1.当n≥时,b2=S1=b1=1,bn=b2qn-2=2n-2,当n=1时,b1=1不满足bn=2n-2.∴bn={,,-,(2)由题意知,当n=1时,c1=a1b1=4×1=4,当n≥时,cn=(n+3)·2n-2,得Tn=4+5+6×21+…+(n+3)·2n-2,2Tn=8+5×21+…+(n+2)·2n-2+(n+3)·2n-1,两式相减得:-Tn=(1+21+22+…+2n-2)-(n+3)·2n-1=----(n+3)·2n-1=(-n-2)·2n-1-1,∴n≥时,Tn=(n+2)·2n-1+1.当n=1时,T1=c1=4,符合上式.故数列{cn}的前n项和Tn=(n+2)·2n-1+1.