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专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2019云南师范大学附属中学高三第八次月考)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率e=√,短轴的一个端点到焦点的距离为√.(1)求椭圆C的方程;(2)斜率为k(k0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,线段AB的中点在直线x=-上,求直线l与y轴交点纵坐标的最小值.2.(2019安徽合肥高三第三次教学质量检测)已知F1,F2分别为椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,点P1,√在椭圆C上,且△PF1F2的面积为√.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点F1的直线l交椭圆于A,B两点,求⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围.3.(2019河南驻马店高三上学期期末考试)已知抛物线Γ的顶点在坐标原点,其焦点F在y轴正半轴上,E为直线y=x上一点,圆E与x轴相切(E为圆心),且E,F关于点M(-2,0)对称.(1)求圆E和抛物线Γ的标准方程;(2)过M的直线l交圆E于A,B两点,交抛物线Γ于C,D两点,求证:|CD|√|AB|.4.(2019辽宁朝阳重点高中高三第四次模拟)已知F为椭圆C:=1(ab0)的右焦点,点P(1,m)在C上,且PF⊥x轴,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+2与椭圆C相交于A,B两点,且⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2(O为坐标原点),求k的取值范围.5.(2019湖北恩施高三2月教学质量检测)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,其准线l:x=-1与x轴的交点为K,过点K的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)点A关于x轴的对称点为D,证明:存在实数t∈(0,1),使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1-t)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.6.(2019河南濮阳高三5月模拟考试)已知椭圆C:=1(ab0)的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P在椭圆上,且△PF1F2的周长为6.(1)求椭圆C的方程;(2)若点P的坐标为(2,1),不过原点O的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设线段AB的中点为M,点P到直线l的距离为d,且M,O,P三点共线,求|AB|2+d2的最大值.参考答案专题突破练25圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解(1)由已知得椭圆的离心率为e=√,短轴的一个端点到焦点的距离为√,解得a=√,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设直线l的方程为y=kx+m,则直线AB与y轴交点的纵坐标为m,设点A(x1,y1),B(x2,y2).将直线AB的方程与椭圆方程联立{化简得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0,由韦达定理得x1+x2=-,x1x2=-,Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)0,化简得m22k2+1.由线段AB的中点在直线x=-上,得x1+x2=-1,故-=-1,即4km=2k2+1,所以m=2√√,当且仅当,即k=√时取等号,此时m22k2+1,满足Δ0,因此,直线l与y轴交点纵坐标的最小值为√2.解(1)设椭圆C的焦距为2c,由椭圆C经过点P1,√,且△PF1F2的面积为√,得=1,又a2=b2+c2,且2c√√,即c=1.解得a2=2,b2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2).若直线l的斜率不存在,可得点A,B的坐标为-1,√,-1,-√,则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x+1),代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2-1)=0.则Δ=16k4-8(1+2k2)(k2-1)=8k2+80恒成立.所以x1+x2=-,x1x2=-所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)(x2+1)=(1+k2)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=-又k2≥0则⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗-1,.综上可知,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围为-1,.3.(1)解设抛物线Γ的标准方程为x2=2py(p0),则焦点F的坐标为0,.已知E在直线y=x上,故可设E(2a,a).因为E,F关于点M(-2,0)对称,所以{0-0解得{-所以Γ的标准方程为x2=8y.因为圆E与x轴相切,故半径r=|a|=2,圆心E(-4,-2),所以圆E的标准方程为(x+4)2+(y+2)2=4.(2)证明由(1)知,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x+2),则E(-4,-2)到直线l的距离为d=-√所以|AB|=2√-=4√,k0.由{消去y并整理得x2-8kx-16k=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=8k,x1x2=-16k,Δ=64k2+64k0.所以|CD|=√|x1-x2|=√√-=8√√因为k0,k2+kk,k2+11,所以=2.所以|CD|22|AB|2,即|CD|√|AB|.4.解(1)因为F(c,0)为椭圆C:=1(ab0)的右焦点,点P(1,m)在C上,且PF⊥x轴,所以c=1.又椭圆C的离心率为,所以a=2.因此b2=a2-c2=4-1=3.所以椭圆C的方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由{得(3+4k2)x2+16kx+4=0,Δ=162k2-16(3+4k2)0,整理得k2,解得k或k-x1+x2=-,x1x2=故y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-+4,由⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2,得x1x2+y1y22,即-+42,整理得k2,解得-√k√综上,k的取值范围是-√,-∪√.5.(1)解因为抛物线C:y2=2px(p0)的准线方程为直线l:x=-1,所以-=-1,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)证明易知点K的坐标为(-1,0),据此可设直线l的方程为x=my-1,设A(x1,y1),B(x2,y2).联立{-整理得y2-4my+4=0,故{因为点A关于x轴的对称点为D,A(x1,y1),所以D(x1,-y1).则直线BD的方程为y-y2=-(x-x2),得y-y2=---(x-x2),得y-y2=-(x-x2),即y-y2=-x-.令y=0,得0-y2=-x-,得x=-y2--=1.所以直线BD恒过定点(1,0).所以点F(1,0)在直线BD上,所以不妨令⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(t∈(0,1)).因为⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗),所以⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1-t)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+t⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗所以存在实数t∈(0,1),使得⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=t⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+(1-t)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,命题得证.6.解(1)由题意得2c=2,2a+2c=6,解得a=2,c=1.∴b2=a2-c2=3.∴椭圆C的方程为=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l与x轴垂直时,由椭圆的对称性可知,点M在x轴上,且与O点不重合,显然M,O,P三点不共线,不符合题设条件.故可设直线l的方程为y=kx+m(m≠0.由{消去y整理得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.①则Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0.∴x1+x2=-,x1x2=-所以点M的坐标为-.∵M,O,P三点共线,∴kOM=kOP.∵m≠0∴k=-此时方程①为3x2-3mx+m2-3=0,则Δ=3(12-m2)0.∴m∈(-2√,2√).则x1+x2=m,x1x2=-∴|AB|2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(12-m2).又d=-√-√,|AB|2+d2=(12-m2)+-=-m+2+∴当m=-(-2√,2√)时,|AB|2+d2的最大值为