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专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.(2019河北衡水同卷联考,理21)已知函数f(x)=x2eax-1.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)略.2.(2019湖北八校联考二,文21)已知函数f(x)=lnx+ax2+bx.(1)函数f(x)在(1,f(1))点的切线l方程为2x+y=0,求a,b的值,并求函数f(x)的最大值;(2)略.3.(2019山东淄博一模,文21)已知函数f(x)=-+1.(1)求f(x)的单调区间;(2)略.4.(2019新疆乌鲁木齐二模,理21)已知函数f(x)=ex+-(其中e是自然对数的底数).(1)当t=0时,求f(x)的最值;(2)若t≠0时,f(x)在,+∞上的最小值为1,求实数t的取值范围.5.(2019湖北八校联考一,文21)已知函数f(x)=x3+x2-4ax+1(a∈R).(1)若函数f(x)有两个极值点,且都小于0,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=a(a-1)lnx-x3+3x+f(x),求函数h(x)的单调区间.6.已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x0时,g(x)0,求b的最大值;(3)已知1.4142√1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).7.(2019安徽江淮十校联考一,文21)已知函数f(x)=ax2+xlnx(a为常数,a∈R,e为自然对数的底数,e=2.788…).(1)若函数f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=(2e+2)x-e2-e,k∈Z且k)-对任意x1都成立,求k的最大值.参考答案专题突破练7函数的单调性、极值点、极值、最值1.(1)解函数f(x)的定义域为R.f'(x)=2xeax+x2·aeax=x(ax+2)eax.当a=0时,f(x)=x2-1,则f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,在区间(-∞,0)内为减函数;当a0时,f'(x)=axx+eax,令f'(x)0得x-或x0,令f'(x)0得-x0,所以f(x)在区间-∞,-内为增函数,在区间-,0内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;当a0时,f'(x)=axx+eax,令f'(x)0得0x-,令f'(x)0得x-或x0,所以f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间0,-内为增函数,在区间-,+∞内为减函数.2.解(1)函数f(x)=lnx+ax2+bx的导数为f'(x)=+2ax+b,在(1,f(1))点的切线斜率为k=1+2a+b,由题意可得1+2a+b=-2,且a+b=-2,可得a=b=-1,f(x)=lnx-x2-x的导数为f'(x)=-2x-1=--=--由f'(x)=0,可得x=(-1舍去),当0x时,f'(x)0,f(x)递增;当x时,f'(x)0,f(x)递减,可得x=处,f(x)取得极大值,且为最大值-ln2-3.解(1)f'(x)=-)-)①当a0时,f'(x)=--)令f'(x)=0,解得x1=-,x2=2,且x1x2.当x∈-∞,-∪(2,+∞)时,f'(x)0;当x∈-,2时,f'(x)0.所以f(x)的单调递增区间是-,2,单调递减区间是-∞,-和(2,+∞).②当a=0时,f'(x)=--,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,2),单调递减区间是(2,+∞).③当-a0时,令f'(x)=0,解得x1=2,x2=-,并且x1x2,当x∈(-∞,2)∪-,+∞时,f'(x)0;当x∈2,-时,f'(x)0.所以f(x)的单调递增区间是(-∞,2)和-,+∞,单调递减区间是2,-.④当a=-时,f'(x)=-)0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).⑤当a-时,令f'(x)=0,解得x1=-,x2=2,且x1x2,当x∈-∞,-∪(2,+∞)时,f'(x)0;当x∈-,2时,f'(x)0.所以f(x)的单调递减区间是-,2,单调递增区间是-∞,-和(2,+∞).4.解(1)当t=0时,f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.令f'(x)0,解得x0,函数f(x)在(0,+∞)是增函数;令f'(x)0,解得x0,函数f(x)在(-∞,0)是减函数;所以f(x)有最小值,无最大值,且f(x)min=f(0)=1.(2)当t0时,由x,所以tx-10,f(x)=ex+-=ex+-)ex+1+1,不符合题意;当t0时,f'(x)=ex--)-)[(tx-1)2-e-x].令g(x)=(tx-1)2--x,易知y=(tx-1)2,y=--在,+∞上均为增函数,所以g(x)=(tx-1)2--x在,+∞上也为增函数,且g(0)=0,当x0时,f'(x)0,当x0时,f'(x)0,所以f(x)min=f(0)=1,符合题意.故实数t的取值范围为(-∞,0).5.解(1)由f(x)有两个极值点且都小于0,得f'(x)=3x2+3x-4a=0有两个不相等的负实根,{8000解得-a0.故a的取值范围为-,0.(2)由h(x)=a(a-1)lnx+x2-(4a-3)x+1,x0,则h'(x)=-)+3x-(4a-3)=(3x-a)[x-(a-1)].令(3x-a)[x-(a-1)]=0,得x=或x=a-1,令=a-1,得a=①当{0-0即a≤0时,在(0,+∞)上h'(x)0恒成立;②当{0-0即0a≤时,当x时,h'(x)0,当0x时,h'(x)0;③当a-10,即1a,当0xa-1或x时,h'(x)0,当a-1x时,h'(x)0;④当=a-10,即a=时,h'(x)0恒成立;⑤当a-10,即a,当0x或xa-1时,h'(x)0,当xa-1时,h'(x)0.综上所述:当a≤0或a=时,h(x)在(0,+∞)上单调递增;当0a≤时,h(x)在,+∞上单调递增,在0,上单调递减;当1a时,h(x)在(0,a-1),,+∞上单调递增,在a-1,上单调递减;当a时,h(x)在0,,(a-1,+∞)上单调递增,在,a-1上单调递减.6.解(1)f'(x)=ex+e-x-≥0等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).①当b≤时,g'(x)≥0等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.而g(0)=0,所以对任意x0,g(x)0;②当b2时,若x满足2ex+e-x2b-2,即0xln(b-1+√-)时,g'(x)0.而g(0)=0,因此当0x≤lnb-1+√-)时,g(x)0.综上,b的最大值为2.(3)由(2)知,g(ln√)=-2√b+2(2b-1)ln2.当b=2时,g(ln√)=-4√+6ln20,ln28√-0.6928;当b=√+1时,ln(b-1+√-)=ln√,g(ln√)=--2√+(3√+2)ln20,ln28√80.6934.所以ln2的近似值为0.693.7.解(1)函数f(x)≤0恒成立,即ax2+xlnx≤0恒成立,可得a≤-ln恒成立.设g(x)=-ln,g'(x)=ln-当0xe时,g'(x)0,g(x)递减;当xe时,g'(x)0,g(x)递增,可得当x=e时g(x)取得最小值,且g(e)=-ln=-,所以a≤-(2)f(x)的导数为f'(x)=2ax+1+lnx,曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为2ae+2=2e+2,可得a=1,即f(x)=x2+xlnx.又由k)-对任意x1都成立,可得kln-对x1恒成立.设h(x)=ln-,x1,h'(x)=--ln--)设k(x)=x2-x-lnx-1,x1,k'(x)=2x-1-=-))0,可得k(x)在(1,+∞)内递增,由k(1.8)=0.44-ln1.8.由1.8√可得ln1.8,即有k(1.8)0,k(2)=1-ln20,则存在m∈(1.8,2),使得k(m)=0,则1xm,k(x)0,h'(x)0,即h(x)在(1,m)内递减;当xm时,k(x)0,h'(x)0,h(x)在xm递增,可得h(x)min=h(m)=ln-又k(m)=m2-m-lnm-1=0,即有m2-1=m+lnm,可得h(x)min=m2+m在(1.8.2)递增,可得h(x)min∈(5.04,6),由kh(x)min,k∈Z,故k的最大值为5.