学而思高中数学3-均值不等式的应用

学而思教育板块三.均值不等式的应用1【例1】若0x，则4yxx的最小值是___________．【例2】设0abc，则221121025()aaccabaab的最小值是（）A．2B．4C．25D．5【例3】若,,ABC为ABC△的三个内角，则41ABC的最小值为．典例分析均值不等式的应用学而思教育板块三.均值不等式的应用2【例4】设0,0,24ababab，则（）A．ab有最大值8B．ab有最小值8C．ab有最大值8D．ab有最小值8【例5】已知：abR、（其中R表示正实数），求证：2222222()21123()23ababaabbabaabbabababab≥≥≥≥≥≥．【例6】设,,0abc，求证：3333abcabc≥，当且仅当abc时等号成立，进一步证明：2223311133abcabcabcabc≥≥≥，当且仅当abc时各等号成立．学而思教育板块三.均值不等式的应用3【例7】经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：2920(0)31600vyvvv．⑴在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）⑵若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【例8】某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)学而思教育板块三.均值不等式的应用4【例9】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为218000cm，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？【例10】如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体长度为a米，高度为b米．已知流出的水中，杂质的质量分数与,ab的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米，问当,ab各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(,AB孔的面积忽略不计)2BAba学而思教育板块三.均值不等式的应用5【例11】设计一幅宣传画，要求画面面积为24840cm，画面的宽与高的比为(1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果23,34，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？【例12】某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为,xy(单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形.要求框架围成的总面积28m.问,xy分别为多少(精确到0.01m)时用料最省?学而思教育板块三.均值不等式的应用6【例13】某村计划建造一个室内面积为8002m的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大．最大种植面积是多少？【例14】对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1污物质量）物体质量（含污物）为0.8，要求清洗完后的清洁度为0.99．有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为(13)aa≤≤．设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是0.81xx(1)xa，用y单位质量的水第二次清洗后的清洁度是yacya，其中c(0.80.99)c是该物体初次清洗后的清洁度．⑴分别求出方案甲以及0.95c时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；⑵若采用方案乙，当1.4a时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最小?学而思教育板块三.均值不等式的应用7【例15】按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为mma；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为ana．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为1h和2h，则他对这两种交易的综合满意度为12hh．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为Am元和Bm元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙；⑴求h甲和h乙关于Am、Bm的表达式；当35ABmm时，求证：h甲=h乙；⑵设35ABmm，当Am、Bm分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？⑶记⑵中最大的综合满意度为0h，试问能否适当选取Am、Bm的值，使得0hh甲≥和0hh乙≥同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．