学而思高中题库完整版二项式定理.版块一.二项展开式1求展开式中的指定项.学生版

板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库11．二项式定理⑴二项式定理011222...nnnnnnnnnnabCaCabCabCbnN这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...nnnnnnnnnCaCabCabCb叫做nab的二项展开式，其中的系数0,1,2,...,rnCrn叫做二项式系数，式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，用1rT表示，即通项为展开式的第1r项：1rnrrrnTCab．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式nab的展开式项数为1n项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n．②字母a的按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n．⑷几点注意①通项1rnrrrnTCab是nab的展开式的第1r项，这里0,1,2,...,rn．②二项式nab的1r项和nba的展开式的第1r项rnrrnCba是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．③注意二项式系数（rnC）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．④通项公式是nab这个标准形式下而言的，如nab的二项展开式的通项公式是11rrnrrrnTCab（只须把b看成b代入二项式定理）这与1rnrrrnTCab是不同的，在这知识内容求展开式中的指定项板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库2里对应项的二项式系数是相等的都是rnC，但项的系数一个是1rrnC，一个是rnC，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,abx，则得公式：12211......nrrnnnnxCxCxCxx．⑥通项是1rTrnrrnCab0,1,2,...,rn中含有1,,,,rTabnr五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n不是很大，x比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．”⑵二项式系数的性质：nab展开式的二项式系数是：012,,,...,nnnnnCCCC，从函数的角度看rnC可以看成是r为自变量的函数fr，其定义域是：0,1,2,3,...,n．当6n时，fr的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n时fr的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式mnmnnCC得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库3由于展开式各项的二项式系数顺次是01211,,112nnnnnnCCC，312123nnnnC，．．．，112...2123....1knnnnnkCk，12...21123...1knnnnnknkCkk，．．．，1nnC．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...nnn），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1，2，3，…等值时，rnC的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n是偶数时，1n是奇数，展开式共有1n项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2nnC．当n是奇数时，1n是偶数，展开式共有1n项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122nnnnCC．③二项式系数的和为2n，即012......2rnnnnnnnCCCCC．④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2nnnnnnnCCCCCC．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．【例1】6312x的展开式中的第四项是．【例2】6xyyx的展开式中，3x的系数等于____．典例分析板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库4【例3】353121xx的展开式中x的系数是A．4B．2C．2D．4【例4】若9axx的展开式中3x的系数是84，则a．【例5】5axx()xR展开式中3x的系数为10，则实数a等于A．1B．12C．1D．2【例6】若2012(12)nnnxaaxaxax，则2a的值是（）A．84B．84C．280D．280【例7】8(2)xy的展开式中62xy项的系数是（）A．56B．56C．28D．28【例8】若554541031xaxaxaxa，则2a的值为（）A．270B．2702xC．90D．902x【例9】64(1)(1)xx的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．【例10】在25(42)xx的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库5【例11】在25(42)xx的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．【例12】在25(42)xx的展开式中，3x的系数为_______（用数字作答）．【例13】求294(31)(21)xxx展开式中含2x项系数．【例14】在26(1)(1)(1)xxx的展开式中，2x项的系数是．（用数字作答）【例15】2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中2x的系数等于________．（用数字作答）【例16】291()2xx展开式中9x的系数是_______（用数字作答）．板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库6【例17】在8(1)(1)xx的展开式中5x的系数是（）A．−14B．14C．−28D．28【例18】在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是（）A．15B．85C．120D．274【例19】在56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中，含3x项的系数是（用数字作答）【例20】求26(1)xx展开式中5x的系数．【例21】64(1)(1)xx的展开式中x的系数是_______（用数字作答）．板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库7【例22】在25(42)xx的展开式中，x的系数为_______（用数字作答）．【例23】在25(42)xx的展开式中，2x的系数为_______（用数字作答）．【例24】在25(42)xx的展开式中，3x的系数为_______（用数字作答）．【例25】求294(31)(21)xxx展开式中含2x项系数．【例26】在26(1)(1)(1)xxx的展开式中，2x项的系数是．（用数字作答）板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库8【例27】2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中2x的系数等于________．（用数字作答）【例28】291()2xx展开式中9x的系数是_______（用数字作答）．【例29】在8(1)(1)xx的展开式中5x的系数是（）A．−14B．14C．−28D．28【例30】在(1)(2)(3)(4)(5)xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是（）（A）15（B）85（C）120（D）274【例31】在56789(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx的展开式中，含3x项的系数是（用数字作答）【例32】求26(1)xx展开式中5x的系数．板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库9【例33】在二项式521xx的展开式中，含4x的项的系数是（）A．10B．10C．5D．5【例34】34(12)(1)xx的展开式中x的系数是______，2x的系数为______．【例35】411(1)xx的展开中含2x的项的系数为（）A．4B．6C．10D．12【例36】6411xx的展开式中x的系数是（）A．4B．3C．3D．4【例37】求31011xx展开式中5x的系数；【例38】在二项式521xx的展开式中，含4x的项的系数是（）A．10B．10C．5D．5板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库10【例39】6(2)x的展开式中3x的系数是（）A．20B．40C．80D．160【例40】在4(1)x的展开式中，x的系数为（用数字作答）【例41】在3333(1)11xxx的展开式中，x的系数为_____（用数字作答）【例42】91xx的二项展开式中含3x的项的系数为（）A．36B．84C．36D．84【例43】若261()xax的二项展开式中3x的系数为5,2则a．（用数字作答）板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库11【例44】设常数0a，241()axx展开式中3x的系数为32，则a＝_____．【例45】已知26(1)kx（k是正整数）的展开式中，8x的系数小于120，则k．【例46】已知5(cos1)x的展开式中2x的系数与45()4x的展开式中3x的系数相等cos．【例47】101xx的二项展开式的第6项的系数为（）A．210B．252C．210D．252【例48】若261()xax的二项展开式中3x的系数为5,2则a__________．（用数字作答）【例49】若21()nxm与2(1)(*0)nmxnmN，的展开式中含nx的系数相等，则实数m的取值范围是（）A．12(]23，B．2[1)3，C．(0)，D．(0)，板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库12【例50】已知π0sincosaxxdx，则二项式61axx展开式中含2x项的系数是．【例51】在7(1)ax的展开式中，3x的系数是2x的系数与4x的系数的等差中项，若实数1a，那么_______a．【例52】已知26(1)kx（k是正整数）的展开式中，8x的系数小于120，则k______．【例53】4()xyyx的展开式中33xy的系数为．【例54】若(1)nx的展开式中，3x的系数是x的系数的7倍，求n；【例55】10()xy的展开式中，73xy的系数与37xy的系数之和等于__________．板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库13【例56】已知a为实数，10()xa展开式中7x的系数是15，则a_______．【例57】二项式41nxxx的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数．【例58】求91xx的二项展开式中含3x的项的二项式系数与系数．【例59】若12nxx的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中4x项的系数为_______．板块一.二项展开式1求展开式中的指定项.题库14【例6