十一章《全等三角形》知识要点归纳

第十一章《全等三角形》知识要点归纳一、知识网络对应角相等性质对应边相等边边边SSS全等形全等三角形应用边角边SAS判定角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图角平分线性质与判定定理二、基础知识梳理（一）基本概念1、“全等”的理解全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）全等三角形周长、面积相等。3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上（二）灵活运用定理证明两个三角形全等，必须根据已知条件与结论，认真分析图形，准确无误的确定对应边及对应角；去分析已具有的条件和还缺少的条件，并会将其他一些条件转化为所需的条件，从而使问题得到解决。运用定理证明三角形全等时要注意以下几点。1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)（三）疑点、易错点1、对全等三角形书写的错误在书写全等三角形时一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。切记不要弄错。2、对全等三角形判定方法理解错误；3、利用角平分线的性质证题时，要克服多数同学习惯于用全等证明的思维定势的消极影响。三、证明全等三角形的常见思路一、已知一边与其一邻角对应相等1.证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：AF=DE.证明∵BE=CF（已知），∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。2.证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB.求证：AE=CE证明∵FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）。∴AE=CE（全等三角形对应边相等）3.证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。例3（同例2）。证明∵FC∥AB（已知），∴∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）。在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）。∴AE=CE（全等三角形对应边相等）。二、已知两边对应相等1.证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2.求证：△ABD≌△ACE证明∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）。2.证第三边对应相等，再用SSS证全等。例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN.求证：AM∥CN，BM∥DN证明∵AC=BD（已知）∴AC+BC=BD+BC，即AB=CD.在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（SSS）∴∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），∴AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，两直行）。三、已知两角对应相等1.证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。例6已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证：AB=DE，AC=DF证明∵FB=CE（已知）∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF，∴△ABC≌△DEF（ASA）。∴AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）2.证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。例7已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF.求证：△ACE≌△BDF.证明∵OA=OB，OE=OF∴OA-OE=OB-OF，即AE=BF，在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF（AAS）。四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等例8已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C.求证：△ABD≌△ACE.证明∵AD=AE（已知）∴∠1=∠2（等边对等角），∵∠ADB=∠180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）。四、常见全等三角形中添加辅助线方法（1）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形例如：如图，已知AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE＋CF＞EF。分析：要证BE＋CF＞EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同一个三角形中。证明：在DA上截取DN＝DB，连接NE，NF，则DN＝DC，在△DBE和△DNE中：∵)()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBDN∴△DBE≌△DNE（SAS）∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）同理可得：CF＝NF在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞EF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图AD为△ABC的中线，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BE＋CF＞EFABCDEFN1234证明：延长ED至M，使DM=DE，连接CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBD∴△BDE≌△CDM（SAS）又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定义）∴∠3＋∠2=90°即：∠EDF＝90°∴∠FDM＝∠EDF＝90°在△EDF和△MDF中∵)()()(公共边已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDED∴△EDF≌△MDF（SAS）∴EF＝MF（全等三角形对应边相等）∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞EF注：上题也可加倍FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。（3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图，AD为△ABC的中线，求证：AB＋AC＞2AD。分析：要证AB＋AC＞2AD，由图想到：AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左边比要证结论多BD＋CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，则AE＝2AD∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD＝CD（中线定义）在△ACD和△EBD中)()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBD∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE＝CA∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB＋AC＞2AD。【思考练习】已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图，求证EF＝2AD。（4）截长补短法作辅助线。例如：已知如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任一点。求证：AB－AC＞PB－PC。分析：要证：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再连接PN，则PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。证明：（截长法）在AB上截取AN＝AC连接PN,在△APN和△APC中∵)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACAN∴△APN≌△APC（SAS）∴PC＝PN∵在△BPN中，有PB－PN＜BN（三角形两边之差小于第三边）∴BP－PC＜AB－AC证明：（补短法）延长AC至M，使AM＝AB，连接PM，在△ABP和△AMP中∵)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMAB∴△ABP≌△AMP（SAS）∴PB＝PM又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形两边之差小于第三边)∴AB－AC＞PB－PC。（5）延长已知边构造三角形。例如：如图，已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC分析：欲证AD＝BC，先证分别含有AD，BC的三角形全等，有几种方案：△ADC与△BCD，△AOD与△BOC，△ABD与△BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长DA，CB，它们的延长交于E点，∵AD⊥ACBC⊥BD∴∠CAE＝∠DBE＝90°在△DBE与△CAE中∵)()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE∴△DBE≌△CAE（AAS）∴ED＝ECEB＝EA（全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB即：AD＝BC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）（6）连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图AB∥CD，AD∥BC求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接AC（或BD）∵AB∥CDAD∥BC（已知）∴∠1＝∠2，∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）ABCDEFM1234ABCDEABCDEFABCDNMP12ABCDEO在△ABC与△CDA中∵)(43)()(21已证公共边已证CAAC∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB＝CD（7）有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E。求证：BD＝2CE分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长BA，CE交于点F。∵BE⊥CF（已知）∴∠BEF＝∠BEC＝90°在△BEF与△BEC中，∵)()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=21CF（全等三角形对应边相等）∵∠BAC=90°BE⊥CF（已知）∴∠BAC＝∠CAF＝90°∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°∴∠BDA＝∠BFC在△ABD与△ACF中)()()(已知＝已证已证A