平面向量综合试题(含答案)

第1页共4页BACD平面向量一.选择题:1.在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论：①BCCAAB②OBOCOA③OAOBAC2其中正确．．结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列命题正确的是（）A．向量AB的长度与向量BA的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若abc，则ac3.若向量=(1,1),=(1,－1),=(－1,2),则等于()A.+B.C.D.+4．若，且与也互相垂直，则实数的值为()A．B.6C.D.35．已知=(2,3),=(,7),则在上的正射影的数量为（）A.B.C.D.6．己知(2,－1).(0,5)且点P在的延长线上,,则P点坐标为()A.(－2,11)B.(C.(,3)D.(2,－7)7．设，ab是非零向量，若函数()()()fxxxabab的图象是一条直线，则必有（）A．⊥abB．∥abC．||||abD．||||ab8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（）A.（2,2）B.（4,6）C.（－6,0）D.（2,2）或（－6,0）或（4,6）9.在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（A）2ACACAB（B）2BCBABC（C）2ABACCD（D）22()()ACABBABCCDAB10．设两个向量22(2,cos)a和(,sin),2mbm其中,,m为实数.若2,ab则m的取值范围是()A.[6,1]B.[4,8]C.(,1]D.[1,6]10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)}B．{(－1,1)}C．{(1,0)}D．{(0,1)}二.填空题:11．若向量ab，的夹角为60，1ab，则aab．12．向量2411，，，a=b=．若向量()ba+b，则实数的值是．第2页共4页13．向量a、b满足a=b=1，ba23=3，则ba3=14．如图，在ABC中，120,2,1,BACABACD是边BC上一点，2,DCBD则ADBC__________.15．如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．三.解答题：16.设两个非零向量e1、e2不共线.如果AB=e1+e2,BC2e1+8e2,CD=3(e1-e2)⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线.17.已知△ABC中,A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD.⑴求证:AB⊥AC;⑵求点D与向量AD的坐标.17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．已知矩形相邻的两个顶点是A（－1，3），B（－2，4），若它的对角线交点在x轴上，求另两个顶点的坐标．19.已知△ABC顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(cCBA、、.（1）若5c，求sin∠A的值;（2）若∠A是钝角，求c的取值范围.20．已知向量(sin,1),(1,cos),22ab．(1)若ab，求；(2)求ab的最大值．21.设向量(sin,cos),(cos,cos),axxbxxxR，函数()()fxaab.（Ⅰ）求函数()fx的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2fx成立的x的集合.22．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255．(1)求cos(α－β)的值；(2)若0απ2，－π2β0，且sinβ＝－513，求sinα．BAONCM第3页共4页平面向量参考答案一、选择题：1-5:BABBC6.A7.A【解析】222()()()(||||)fxxxxxababababab,若函数()fx的图象是一条直线，即其二次项系数为0，ab=0，⊥ab.8.D9.C.【分析】：2()00ACACABACACABACBC，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为2222CDABACBC，通过等积变换判断为正确.10.A【分析】由22(2,cos)a,(,sin),2mbm2,ab可得2222cos2sinmm，设km代入方程组可得22222cos2sinkmmkmm消去m化简得2222cos2sin22kkk，再化简得22422cos2sin022kk再令12tk代入上式得222(sin1)(16182)0tt可得2(16182)[0,4]tt解不等式得1[1,]8t因而11128k解得61k.故选A10.A二、填空题：11.21【解析】2211cos60122aabaabaab。12.-3.解析：已知向量2411ab，，，==．向量(2,4)ab，()bab+，则2+λ+4+λ=0，实数=－3．13.14.83【分析】根据向量的加减法法则有:BCACAB112()333ADABBDABACABACAB,此时2212122()()33333ADBCACABACABACACABAB··18183333.15.解析：由MN的任意性可用特殊位置法：当MN与BC重合时知m=1，n=1，故m+n=2，填2三、解答题：16.⑴∵BDBCCD5e1+5e2=AB5,∴BDAB//又有公共点B,∴A、B、D共线⑵设存在实数λ使ke1+e2=λ(e1+ke2)∴k=λ且kλ=1∴k=117.⑴由0ACAB可知ACAB即AB⊥AC⑵设D（x,y）,∴)2,1(),5,5(),4,2(yxBDBCyxAD∵BCAD∴5(x-2)+5(y-4)=0∵BCBD//∴5(x+1)－5(y+2)=0∴2527yx∴D(25,27))23,23(AD17．解(1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cosα＝－55，α∈(0，π)⇒sinα＝255.ABDCBAONCM第4页共4页sinα－π2－cos3π2＋αsinπ－α＋cos3π＋α＝－cosα－sinαsinα－cosα＝－13.(2)∵cosα＝－55，sinα＝255⇒sin2α＝－45，cos2α＝－35.cos(2α－3π4)＝－22cos2α＋22sin2α＝－210.18．解：因为矩形对角线交点在x轴上，故设交点为M（x，0），由|MA|=|MB|得：22224)2(3)1(xx解得：x=－5，∴交点为M（－5，0）又设矩形另两个顶点为C（x1，y1）、D（x2，y2）∵M是AC的中点，由中点坐标公式得390235211111yxyx同理可求得：4,822yx故所求两个顶点的坐标为（―9，―3），（―8，―4）。19.解：(1)(3,4)AB,(3,4)ACc当c=5时，(2,4)AC6161coscos,5255AACAB进而225sin1cos5AA(2)若A为钝角，则AB﹒AC=-3(c-3)+(-4)20解得c325显然AB和AC不共线，故c的取值范围为[325，+)20．解：（Ⅰ）若ab，则sincos0，由此得：tan1,()22，所以，4．（Ⅱ）由(sin,1),(1,cos),ab得：22(sin1)(1cos)32(sincos)ab322sin()4当sin()14时，ab取得最大值，即当4时，ab的最大值为21．21.解：（Ⅰ）∵()()fxaab222sincossincoscosaaabxxxxx11321sin2(cos21)sin(2)22224xxx∴()fx的最大值为3222，最小正周期是（Ⅱ）要使3()2fx成立，当且仅当323sin(2)2242x，即sin(2)04x2224kxk3,88kxkkZ,即3()2fx成立的x的取值集合是3|,88xkxkkZ22．解(1)∵|a|＝1，|b|＝1，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1＋1－2cos(α－β)，|a－b|2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45得cos(α－β)＝35．(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ．由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sinβ＝－513得cosβ＝1213．∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝3365．