数学曲线方程及圆锥曲线典型例题解析

1曲线方程及圆锥曲线典型例题解析一．知识要点1．曲线方程（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下：步骤含义说明1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标。建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。(1)所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点。(2)没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系。2、现(限)：由限制条件，列出几何等式。写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确。3、“代”：代换用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0常常用到一些公式。4、“化”：化简化方程f(x,y)=0为最简形式。要注意同解变形。5、证明证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化”（2）求曲线方程的常见方法：直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解。几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法。参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。2．圆锥曲线综合问题（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。圆锥曲线的弦长求法：设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围。2（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。（3）实际应用题数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等。涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：实际问题模型的解数学模型方程讨论方程的解翻译回去建立坐标系转化成数学问题（4）知识交汇题圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现部分有较强区分度的综合题。二．典例解析题型1：求轨迹方程例1．（1）一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。（2）双曲线2219xy有动点P，12,FF是曲线的两个焦点，求12PFF的重心M的轨迹方程。解析：（1）（法一）设动圆圆心为(,)Mxy，半径为R，设已知圆的圆心分别为1O、2O，将圆方程分别配方得：22(3)4xy，22(3)100xy，当M与1O相切时，有1||2OMR①当M与2O相切时，有2||10OMR②将①②两式的两边分别相加，得21||||12OMOM，即2222(3)(3)12xyxy③移项再两边分别平方得：222(3)12xyx④两边再平方得：22341080xy，整理得2213627xy，所以，动圆圆心的轨迹方程是2213627xy，轨迹是椭圆。（法二）由解法一可得方程2222(3)(3)12xyxy，xy1O2OP3由以上方程知，动圆圆心(,)Mxy到点1(3,0)O和2(3,0)O的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为1(3,0)O、2(3,0)O，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，∴26c，212a，∴3c，6a，∴236927b，∴圆心轨迹方程为2213627xy。（2）如图，设,PM点坐标各为11(,),(,)PxyMxy，∴在已知双曲线方程中3,1ab，∴9110c∴已知双曲线两焦点为12(10,0),(10,0)FF，∵12PFF存在，∴10y由三角形重心坐标公式有11(10)103003xxyy，即1133xxyy。∵10y，∴0y。已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有22(3)(3)1(0)9xyy即所求重心M的轨迹方程为：2291(0)xyy。点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法。例2．（2001上海，3）设P为双曲线42xy2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是。解析：（1）答案：x2－4y2＝1设P（x0，y0）∴M（x，y）∴2,200yyxx∴2x＝x0，2y＝y0∴442x－4y2＝1x2－4y2＝1点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。题型2：圆锥曲线中最值和范围问题例3．（1）设AB是过椭圆xaybab222210()中心的弦，椭圆的左焦点为Fc10()，，则△F1AB的面积最大为（）A.bcB.abC.acD.b24（2）已知双曲线xaybab2222100()，的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且||||PFPF124，则此双曲线的离心率的最大值是（）A.43B.53C.2D.72（3）已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆xy222591上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（）A.10B.105C.105D.1025解析：（1）如图，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又||OFc1，△F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为12cb。所以△F1AB的面积最大值为cb。点评：抓住△F1AB中||OFc1为定值，以及椭圆是中心对称图形。（2）解析：由双曲线的定义，得：||||PFPFa122，又||||PFPF124，所以322||PFa，从而||PFa223由双曲线的第二定义可得||PFxacca22，所以xac532。又xaaca，即532，从而eca53。故选B。点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532aca成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。5（3）解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（－4，0）是椭圆的左焦点（如图），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知：||||PBPF10，所以||||||||||||(||||)PBPFPAPBPAPFPAPF101010，所以。由平面几何知识，||||||||PAPFAF，即(||||)||minPAPBAF10，而||()()AF3420522，所以(||||)minPAPB105。点评：由△PAF成立的条件||||||||PAPFAF，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出||||||||PAPFAF这一关键结论。例4．（1）（06全国1文，21）设P是椭圆22211xyaa短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求PQ的最大值。（2）（06上海文，21）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F,右顶点为(2,0)D,设点11,2A.①求该椭圆的标准方程；②若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；③过原点O的直线交椭圆于点,BC，求ABC面积的最大值。（3）（06山东文，21）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l。(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。6解析：（1）依题意可设P(0,1)，Q(x,y),则|PQ|=x2+(y－1)2，又因为Q在椭圆上，所以，x2=a2(1－y2)，|PQ|2=a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2，=(1－a2)(y－11－a2)2－11－a2+1+a2。因为|y|≤1,a1,若a≥2,则|11－a2|≤1,当y=11－a2时,|PQ|取最大值a2a2－1a2－1，若1a2,则当y=－1时,|PQ|取最大值2。（2）①由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1，又椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的标准方程为1422yx。②设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0)，由x=210x得x0=2x－1y=2210yy0=2y－21由,点P在椭圆上,得1)212(4)12(22yx，∴线段PA中点M的轨迹方程是1)41(4)21(22yx。③当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1。当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入1422yx,解得B(1422k,1422kk),C(－1422k,－1422kk)，则224114kkBC,又点A到直线BC的距离d=2121kk，∴△ABC的面积S△ABC=2411221kkdAB。于是S△ABC=144114144222kkkkk。7由1442kk≥－1,得S△ABC≤2,其中,当k=－21时,等号成立。∴S△ABC的最大值是2。（3）解：设椭圆方程为22221()xyabcab（Ⅰ）由已知得222224bcacabc222211abc∴所求椭圆方程为2212xy。（Ⅱ）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为11222,(,),(,)ykxAxyBxy由22212ykxxy，消去y得关于x的方程：22(12)860kxkx，由直线l与椭圆相交于A、B两点，2206424(12)0kk，解得232k。又由韦达定理得122122812612kxxkxxk，222121212||1||1()4ABkxxkxxxx2221162412kkk。原点O到直线l的距离221dk。2222116242223||21212AOBkkSABdkk.解法1：对22162412kSk两边平方整理得：2422244(4)240SkSkS（*），8∵0S，2222222216(4)44(24)0,402404SSSSSSS，整理得：212S。又0S，202S，从而AOBS的最大值为22S，此时代入方程（*）得42428490kk，142k。所以，所求直线方程为：14240xy。解法2：令223(0)mkm，则2223km。222222442mSmmm当且仅当4mm即2m时，max22S，此时142k。所以，所求直线方程为1424