第8章-非平稳性

1第8章非平稳性2谈起喝酒，几乎所有的人都有过切身体会，“酒文化”也是一个既古老而又新鲜的话题。以下是美文网小编为大家整理的关于酒桌上如何说话的技巧，供大家参考！酒桌上说话的技巧1、瞄准宾主，把握大局大多数洒宴都有一个主题，也就是喝酒的目的。赴宴时首先应环视一下各位的神态表情，分清主次，不要单纯地为了喝酒而喝酒，而失去交友的好机会，更不要让某些哗众取宠的酒徒搅乱东道主的意思。酒桌上说话的技巧2、众欢同乐，切忌私语大多数酒宴宾客都较多，所以应尽量多谈论一些大部分人能够参与的话题，得到多数人的认同。因为个人的兴趣爱好、知识面不同，所以话题尽量不要太偏，避免唯我独尊，天南海北，神侃无边，出现跑题现象，而忽略了众人。特别是尽量不要与人贴耳小声私语，给别人一种神秘感，往往会产生“就你俩好”的嫉妒心理，影响喝酒的效果。酒桌上说话的技巧3、劝酒适度，切莫强求在酒桌上往往会遇到劝酒的现象，有的人总喜欢把酒场当战场，想方设法劝别人多喝几杯，认为不喝到量就是不实在。“以酒论英雄”，对酒量大的人还可以，酒量小的就犯难了，有时过分地劝酒，会将原有的朋友感情完全破坏。酒桌上说话的技巧4、8.1简介在实践中，常常会遇到各种不同类型的非平稳性。粗略地说，一个非平稳的时间序列会表现出均值、方差或两者都有的系统变化。我们已经研究了有关处理非平稳时间序列的一些直观思路，例如，检察ACF。又如，通过差分，我们可以使一个序列成为平稳的。由于存在各种各样的非平稳性定义，我们把讨论专注于一类特别的最常出现在经济计量学和金融时间序列中的非平稳性形式(即，序列均值水平的非平稳性)。在做这件事之前，我们从具有非常数的方差的非平稳时间序列的变换开始讨论。在下一章，我们要更系统地学习异方差的概念。38.2方差非平稳性考虑这样一种情形，即，序列均值的大小是确定性变化的，但序列的方差依均值水平而变化。这样的序列可以表示为tttYZ其中t是非随机的均值水平，但{}tY的方差具有形式22var()var()()tttYZh，这里h是某个函数。这种表示的效果是{}tY的方差与其均值水平t成比例。为了处理这种现象，我们想去找一个施加于{}tY的变换g使得()tgY的方差成为常数(即，去找一个方差平稳化变换)。利用Taylor逼近可以做到这一点。确切地，由于()()()()tttttgYgYg我们有2222var(())[()]var()[()]()tttttgYgYgh4通过设定()tgY的方差为一个固定的正常数c(即，使上面的方程的右边为常数c)，我们得到了关系式()1()ttgh。作为例子，假如()tth，那么()1ttg，也就是()log()ttg，因此结果为通常的对数变换。另一方面，如果12()()tth，则12()()ttg，这也就是12()2ttg，结果导致平方根变换。一般地，Box-Cox变换(1),0log(),=0yyy可以用来作为一个适当的方差平稳化变换。关于Box-Cox变换的更多详情可参见Weisberg(1985)第六章。58.3均值非平稳性:带漂移的随机游动当均值水平非平稳性出现时，情况就比方差非平稳性更复杂。考虑一个带噪音的线性趋势模型01ttYtZ进行差分后可得1ttYZ虽然此模型平稳了，但它却不再是可逆的。另一种表示均值水平变化的方法是考虑如下的两个模型：01(TS)ttYtv11(DS)tttYYv其中{}tv通常是相关但平稳的。6(TS)和(DS)都导出了一个均值水平随时间而增加的时间序列，但二者之间存在根本的区别。对于第一个模型，在剔除趋势后得到平稳过程{}tv；而对于第二个模型，在进行差分后得到平稳过程{}tv。假如我们差分第一个模型，得到的过程是1ttYv结果导致一个非可逆的过程{}tv。这不是所期望的。现实的问题是我们如何区分这两类模型。这是对经济计量学家具有挑战性的问题之一。解决这个问题的一个方法是去构建一个包含两种情形的模型。确切地，考虑模型01ttYtv其中21,N(0,),i.i.d.ttttvvZZ7经简单的代数运算可得011tttYtvZ01101((1))tttYtZ011(1)((1))ttttYZ0111(1)(1)tttYZ011:tttYZ其中符号:的意思是“定义为”。在这里，001(1)而11(1)。8请注意：1．如果1，则011,0而11tttYYZ，我们得到(DS)模型，即，一个差分平稳序列。2．如果1，则011tttYtYZ，我们得到(TS)模型，即，一个趋势平稳序列。也请注意趋势平稳序列{}tY满足011tttYtYZ故011(1)(1)tttBYtYZ我们可以对系数1进行检验。如果1，则011,0。于是我们得到一个差分平稳序列1(1)ttBYZ(8.1)9另一方面，假如1，我们得到一个趋势平稳序列011(1)(1)tttBYtYZ(8.2)为了实施这个检验，我们得检察方程(8.2)中1tY的系数(1)以检验它是否等于零。在零假设:1H成立的时候，方程(8.2)简化为(8.1)。如果从不同的方面来观察方程(8.2)，我们把它改写为011tttYtYZ(8.3)那么，在:1H成立的条件下(011,0)，方程(8.3)变为11tttYYZ(8.4)于是，检验方程(8.2)中回归系数:10H的问题形式地转变为检验方程(8.3)中:1H的问题。而后者又形式地转变为检验如下问题中:1H的问题：11tttYYZ这个问题结果和下一节要讨论的单位根统计量有关。108.4单位根检验前面的讨论引导我们考虑如下的检验问题。考虑对模型11tttYYZ(8.5)中AR系数:1H的检验问题。为了说明主要思路，我们进一步假设方程(8.5)中10。于是在H之下，{}tY服从一个随机游动模型。在时间序列和经济计量文献中，这类模型的统计检验通称为随机游动检验或单位根检验。考虑方程(8.5)中的最小二乘估计ˆ。它具有形式11211ˆntttnttYYY特别地，112211(1)ˆ(1)(1)ntttnttnYZnnY(8.6)为了研究方程(8.6)中检验统计量的性质，我们需要考虑其分子和分母的渐进性质。对于分母，我们依靠泛函中心极限定理的一种简单形式(不变原理)：11定理8.1设1,,nZZ是均值为0方差为1的i.i.d.随机变量序列。又设[0,1]t给定，而[]1()1ntniiYtnZ，其中[]nt表示数nt的整数部分。则当n时，()()nYtWtL,这里()Wt是定义在[0,1]上的标准布朗(Brownian)运动。此定理的证明可参见Billingsley(1999)。在8.5节，我们要讨论怎样利用本定理的一个离散形式去模拟布朗运动的样本轨道。就式(8.6)而言，注意在假设:1H的条件下，1ttiiYZ。因此，直接利用定理8.1，立即得到1()()nYtWtL。相应地，可以证明式(8.6)的分母221121111()nnttttYYnnn120()WtdtL12考虑如下的推导。在假设:1H的条件下，1tttYYZ222112tttttYYYZZ(8.7)将方程(8.7)两边从1到n分别加起来并进行化简可得2211112nnttntttYZYZ(8.8)显然，22(1)nYnWL而且几乎必然2111nttnZ。把这些结果代入(8.8)，我们得21111[(1)1]2ntttYZWnL10()()WtdWt其中最后一步是根据ˆIto法则，例如，可参见ksendal(1998)。总之，我们推导出了如下定理。13定理8.2设tY满足(8.5)且10。那么，在假设:1H下，10120()()ˆ(1)()WtdWtnWtdtL(8.9)以上结果通常被叫做单位根检验统计量或Dickey-Fuller统计量。其数值百分位数已经被许多人制成数表，在Fuller(1996)和Tanaka(1996)的书中都可以见到它们。当假设10被取消时，以上论证只要做稍微修改仍可适用并且所得统计量与(8.9)差别不大。这些扩展的详情可见Tanaka(1996)。148.5模拟因为有关单位根的渐进分布大部分是非标准的，在实证研究中，人们不得不求助于模拟的方法。对于这一点，定理8.1起到了建筑模块的作用，而我们可以依如下方式模拟布朗运动的泛函。考虑定理8.1的离散化形式：1()()kkktWtWtt(8.10)其中1kkttt，而0,,kN，00t。在此方程中，N(0,1)kt是i.i.d.随机变量。进一步，假设0()0Wt。除了因子t，该方程是熟悉的随机游动模型。注意到对于jk，从这个模型我们有1()()ikkjtijWtWtt15方程(8.10)提供了模拟标准布朗运动(Wiener过程)的一种方法。为了看出应如何进行模拟，考虑把区间[0,1]划分为长度是1n的n个子区间。对于区间[0,1]中的每一个数t，令[]nt表示nt的最大的整数部分。例如，若110,3nt，那么10[][]33nt。现在定义一个区间[0,1]上的随机过程如下。对于区间[0,1]上的每一个数t，定义[][]11ntntiiSn(8.11)其中i是i.i.d.的标准正态随机变量。显然，[][]1[]1ntntntSSn而且它是当1tn时，方程(8.10)的特殊形式。进一步，我们知道当1t时，[]11nntniiSSn具有标准正态分布。16也是根据中心极限定理，我们知道即使i仅仅是i.i.d.，但不见得是正态分布的，nS仍然依分布趋近于标准正态随机变量。我们的想法是利用取极限，当n时，过程[]ntS应会依分布趋近于一个Wiener过程。于是，为了模拟一个Wiener过程的样本轨道，我们所要做的就是去迭代方程(8.11)。Homework:P112,ex1(把“SPLUS”改为“你所熟悉的”)17Homework对于n=100,500,1000,利用方程8.11,模拟出三条标准布朗运动的样本轨道，