数学必修2第四章测试(含答案)

第1页共8页第四章圆与方程一、选择题1．圆C1:x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2:x2＋y2－4x＋4y－2＝0的位置关系是()．A．相交B．外切C．内切D．相离2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公共切线有()．A．1条B．2条C．3条D．4条3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1D．(x＋1)2＋(y－2)2＝14．与直线l:y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是()．A．x－y±5＝0B．2x－y＋5＝0C．2x－y－5＝0D．2x－y±5＝05．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于()．A．2B．2C．22D．426．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是()．A．x2＋y2＋4y－6＝0B．x2＋y2＋4x－6＝0C．x2＋y2－2y＝0D．x2＋y2＋4y＋6＝07．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()．A．30B．18C．62D．528．两圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和(x－b)2＋(y－a)2＝r2相切，则()．A．(a－b)2＝r2B．(a－b)2＝2r2C．(a＋b)2＝r2D．(a＋b)2＝2r29．若直线3x－y＋c＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆x2＋y2＝10相切，则c的值为()．A．14或－6B．12或－8C．8或－12D．6或－1410．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|＝()．A．453B．253C．253D．213第2页共8页二、填空题11．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________．12．已知直线x＝a与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则a的值是_________．13．直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长为_________．14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为．三、解答题16．求下列各圆的标准方程：(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程．第3页共8页19．已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．(1)求直线PA，PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程．20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．第4页共8页参考答案一、选择题1．A解析：C1的标准方程为(x＋1)2＋(y＋4)2＝52，半径r1＝5；C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝(10)2，半径r2＝10．圆心距d＝224－2＋1＋2)()(＝13．因为C2的圆心在C1内部，且r1＝5＜r2＋d，所以两圆相交．2．C解析：因为两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9，所以两圆的圆心距d＝222－1－＋2＋2)()(＝5．因为r1＝2，r2＝3，所以d＝r1＋r2＝5，即两圆外切，故公切线有3条．3．A解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1．4．D解析：设所求直线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0．圆x2＋y2―2x―4y＋4＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1．由221＋2＋2－2b＝1解得b＝±5．故所求直线的方程为2x－y±5＝0．5．C解析：因为圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝2，显然直线x－y＋4＝0经过圆心．所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22．6．A解析：如图，设直线与已知圆交于A，B两点，所求圆的圆心为C．依条件可知过已知圆的圆心与点C的直线与已知直线垂直．因为已知圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)，所以过点(1，0)且与已知直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为y＝2x－2．令x＝0，得C(0，－2)．联立方程x2＋y2－2x＝0与x＋2y－3＝0可求出交点A(1，1)．故所求圆的半径r＝|AC|＝223＋1＝10．(第6题)第5页共8页所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋4y－6＝0．7．C解析：因为圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r＝32．设圆心到直线的距离为d，d＝210＞r，所以最大距离与最小距离的差等于(d＋r)－(d－r)＝2r＝62．8．B解析：由于两圆半径均为|r|，故两圆的位置关系只能是外切，于是有(b－a)2＋(a－b)2＝(2r)2．化简即(a－b)2＝2r2．9．A解析：直线y＝3x＋c向右平移1个单位长度再向下平移1个单位．平移后的直线方程为y＝3(x－1)＋c－1，即3x－y＋c－4＝0．由直线平移后与圆x2＋y2＝10相切，得221＋34－＋0－0c＝10，即|c－4|＝10，所以c＝14或－6．10．C解析：因为C(0，1，0)，容易求出AB的中点M3，23，2，所以|CM|＝2220－3＋1－23＋0－2)()(＝253．二、填空题11．x2＋y2＋4x－3y＝0．解析：令y＝0，得x＝－4，所以直线与x轴的交点A(－4，0)．令x＝0，得y＝3，所以直线与y轴的交点B(0，3)．所以AB的中点，即圆心为232，－．因为|AB|＝223＋4＝5，所以所求圆的方程为(x＋2)2＋223－y＝425．即x2＋y2＋4x－3y＝0．12．0或2．解析：画图可知，当垂直于x轴的直线x＝a经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切，第6页共8页所以a的值是0或2．13．8．解析：令圆方程中x＝0，所以y2―2y―15＝0．解得y＝5，或y＝－3．所以圆与直线x＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．所以直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8．14．7或－5．解析：由2221－＋7＋2＋4－6)()()(z＝11得(z－1)2＝36．所以z＝7，或－5．15．22．解析：如图，S四边形PACB＝2S△PAC＝21|PA|·|CA|·2＝|PA|，又|PA|＝12－||PC，故求|PA|最小值，只需求|PC|最小值，另|PC|最小值即C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，为2243843＋|＋＋|＝3．于是S四边形PACB最小值为132－＝22．三、解答题16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，于是依题意，得．＝＋)(，＝＋)(22224－316－1rara解得．，－20＝1＝2ra故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20．(2)因为圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)，所以圆心必在过点M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直线l上．则l的方程为y＋1＝x－2，即y＝x－3．由．＝＋，－＝023yxxy解得．－＝，＝21yx即圆心为O1(1，－2)，半径r＝222＋1－＋1－2)()(＝2．故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．17．解：以D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz，E点在平面xDy中，且EA＝21．(第15题)第7页共8页所以点E的坐标为0，21，1，又B和B1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，所以点F的坐标为21，1，1，同理可得G点的坐标为21211，，．18．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为圆与两坐标轴相切，所以圆心满足|a|＝|b|，即a－b＝0，或a＋b＝0．又圆心在直线5x―3y―8＝0上，所以5a―3b―8＝0．由方程组，＝－，＝－－00835baba或，＝＋，＝－－00835baba解得，＝，44ba＝或．＝－，11＝ba所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16，或(x－1)2＋(y＋1)2＝1．19．解：(1)设过P点圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx―y―2k―1＝0．因为圆心(1，2)到直线的距离为2，1＋3－－2kk＝2，解得k＝7，或k＝－1．故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．(2)在Rt△PCA中，因为|PC|＝222－1－＋1－2)()(＝10，|CA|＝2，所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8．所以过点P的圆的切线长为22．(3)容易求出kPC＝－3，所以kAB＝31．如图，由CA2＝CD·PC，可求出CD＝PCCA2＝102．设直线AB的方程为y＝31x＋b，即x－3y＋3b＝0．由102＝23＋13＋6－1b解得b＝1或b＝37(舍)．所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0．(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．20．解：因为圆心C在直线3x－y＝0上，设圆心坐标为(a，3a)，(第19题)第8页共8页圆心(a，3a)到直线x－y＝0的距离为d＝22－a．又圆与x轴相切，所以半径r＝3|a|，设圆的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝9a2，设弦AB的中点为M，则|AM|＝7．在Rt△AMC中，由勾股定理，得222－a＋(7)2＝(3|a|)2．解得a＝±1，r2＝9．故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9，或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9．(第20题)