高中数学必修五-不等式

第三章不等式§3.4基本不等式：ab≤a＋b2课前预习目标课堂互动探究课前预习目标梳理知识夯实基础自学导引1.了解基本不等式的证明过程．2．应用数形结合的思想理解基本不等式，掌握基本不等式及其变形．3．会用基本不等式求最值.课前热身1.基本不等式．(1)重要不等式：对于任意实数a，b，有a2＋b2________2ab，当且仅当________时，等号成立．(2)基本不等式：如果a0，b0，那么ab______a＋b2，当且仅当________时，等号成立．2．应用基本不等式求最值．已知x，y都为正数，则(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当________时，积xy取得最大值________．(2)若xy＝p(积为定值)，则当________时，和x＋y取得最小值________.1.≥a＝b≤a＝b自我校对2.x＝ys24x＝y2p名师讲解1.对重要不等式a2＋b2≥2ab的理解(1)条件是a，b∈R，其结论的正确性是依据不等式的性质，用比较法可以证明．(2)结论的形式可以是a2＋b2≥2ab，也可以是ab≤a2＋b22.解题时不仅要记住原来的形式，还要掌握变式的应用，这也是学习数学概念应下的功夫．因为所有的数学公式都只表示了若干个量之间的本质联系，而不能固定于某个特殊的形式．(3)等号取到的条件，当且仅当a＝b时取“＝”号是指：一方面是当a＝b时，取到“＝”号；另一方面，取到“＝”时，必有a＝b.在后面的练习中，要体会这是很重要的一个条件．2．基本不等式(1)均值定理．如果a，b∈R＋，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，式中等号成立．通常这个定理被称为均值不等式．(2)对定理的理解．①称a＋b2为a，b的算术平均数，称ab为a，b的几何平均数，此定理可表述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．②定理的证明可以用作差比较法：a＋b2－ab＝a＋b－2ab2＝a－b22≥0，即a＋b2≥ab.也可用重要不等式进行推导：∵a，b∈R＋，则(a)2＋(b)2≥2ab，即有a＋b≥2ab.③对于“＝”号的理解：如果a＝b，那么a＋b2＝ab，如果a≠b，那么a＋b2ab，如：x2＋2＋1x2＋2≥2x2＋2·1x2＋2＝2中就不能取等号，因为x2＋2≠1x2＋2，否则推出x2＝－1矛盾．④a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是不同的：前者是a，b∈R，后者是a，b∈R＋.⑤定理的几何直观解释．如图，以a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AE，BE，易知△ACE∽△ECB，则CE2＝CA·CB，即CE＝ab.这个圆的半径为a＋b2，显然它大于或等于CE，即a＋b2≥ab.3．应用均值不等式求最值应注意三个条件当两个正数的和为定值时，其积有最大值；当积为定值时，其和有最小值．应用此结论要注意三个条件：“一正、二定、三相等”．也就是说，(1)各项或各因式均为正值．(2)和或积为定值．(3)各项或各因式相等时有解．三个条件缺一不可.课堂互动探究剖析归纳触类旁通基本不等式的应用一【例1】(1)已知xy＝3，且x0，y0，求2x＋5y的最小值；(2)若2x＋y＝3，且x，y都是正数，求12x＋1y的最小值．典例剖析【解】(1)∵x0，y0，xy＝3，∴2x＋5y≥22x·5y＝230，当2x＝5y，即x＝302，y＝305时，等号成立，即x＝302，y＝305时，(2x＋5y)min＝230.(2)∵12x＋1y＝2x＋y2xy＝32xy，又∵2x＋y＝3≥22xy，∴2xy≤94.∴12x＋1y≥394＝43.当且仅当2x＝y＝32，即x＝34，y＝32时，等号成立．∴当x＝34，y＝32时，12x＋1ymin＝43.规律技巧本题及三个变式充分考查了基本不等式这一基础知识的应用：两个正数，和为定值时，积有最大值；积为定值时，和有最小值.基本不等式的灵活运用二【例2】(1)函数y＝a1－x(a0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn0)上，求1m＋1n的最小值；(2)已知x54，求函数y＝4x－2＋14x－5的最大值．【解】(1)∵y＝a1－x恒过定点A(1,1)，又∵A在直线mx＋ny－1＝0上，∴m＋n＝1.而1m＋1n＝m＋nm＋m＋nn＝1＋nm＋mn＋1≥2＋2＝4.当且仅当m＝n＝12时，取“＝”．∴1m＋1n的最小值为4.(2)∵x54，所以4x－50.∴5－4x0.∴y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝－5－4x＋15－4x＋3.∵5－4x＋15－4x≥25－4x15－4x＝2，∴y≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1或x＝32(舍)时等号成立．故当x＝1时，y取最大值1.规律技巧对于某些问题，从形式上看不具备应用基本不等式的条件，可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件，然后用基本不等式求解，如本例(2).利用基本不等式解决实际问题三【例3】某工厂有旧墙一面长14m，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房．工程条件是：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为a4元；③拆去1m旧墙，用所得的材料建1m新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段xm(x14)为矩形厂房的一面边长；(2)矩形厂房的一面边长x≥14，问如何利用旧墙即x为多少时建墙费用最省？(1)、(2)两种方案哪种方案最好？【解】设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一面边长为126x.(1)利用旧墙的一段xm(x14)为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x·a4，剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·a2，其余的建新墙的费用为2x＋2×126x－14·a.故总费用为y＝a4x＋14－xa2＋a2x＋252x－14＝a7x4＋252x－7＝7ax4＋36x－1(0x14)．∵x4＋36x≥2x4·36x＝6，∴y＝7ax4＋36x－1≥7a(6－1)＝35a.当且仅当x4＝36x即x＝12时，y取最小值35a.(2)若利用旧墙的一面矩形边长为x(x≥14)，则修旧墙的费用为14·a4＝7a2，建新墙的费用为2x＋252x－14·a.故总费用为y＝72a＋a2x＋252x－14＝2ax＋126x－212a(x≥14)．设14≤x1x2，则x1＋126x1－x2＋126x2＝(x1－x2)1－126x1x20，∵x1x2196，∴t＝x＋126x在[14，＋∞)上为增函数．∴y＝2ax＋126x－212a≥35.5a.∴当x＝14时，y取最小值35.5a.所以，采用第(1)种方案，利用旧墙12m为矩形的一面边长，使建墙费用最省，费用最小值为35a.易错探究已知a0，b0，且1a＋9b＝1，求a＋b的最小值．【错解】∵a0，b0，∴a＋b≥2ab，1a＋9b≥29ab.∴a＋b＝1a＋9b(a＋b)≥2ab·29ab＝12.∴a＋b的最小值为12.【错因分析】上述解法中，连用了两次基本不等式，其等号成立的条件是不同的，前一个等号成立的条件是a＝b，后一个等号成立的条件是b＝9a，若等号同时成立，则a＝b＝0，这与题设相矛盾．【正解】∵a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝1＋ba＋9ab＋9≥10＋2ba·9ab＝16，当且仅当ba＝9ab，即b＝3a时，取等号，又1a＋9b＝1，∴当a＝4，b＝12时，a＋b有最小值16.随堂训练1.若x∈R，则下列不等式一定成立的是()A．lg(x2＋1)≥lg2xB．x2＋12xC.1x2＋11D．2x≤x＋122答案D2．设ba0，且a＋b＝1，则四个数12，2ab，a2＋b2，b中最大的是()A．bB．a2＋b2C．2abD.12答案A3．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要一年的总运费与存储费用之和最小，则x＝________吨．解析由题意，一年购买400x次，则总运费400x·4＝1600x万元，总存储量4x万元，则一年的总运费与总存储费用之和设为y，则y＝1600x＋4x取最小值时，4x＝1600x⇒x2＝400⇒x＝20.答案204．(1)若x0，求f(x)＝12x＋3x的最小值；(2)若x0，求f(x)＝12x＋3x的最大值；(3)若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的最小值．解(1)∵x0，由基本不等式f(x)＝12x＋3x≥212x·3x＝236＝12.当且仅当3x＝12x时，即x＝2时，f(x)取最小值为12.(2)∵x0，∴－x0.则－f(x)＝12－x＋(－3x)≥212－x·－3x＝12.即f(x)≤－12，当且仅当12－x＝－3x时，即x＝－2时f(x)取最大值－12.(3)设ab＝t(t0)，由ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，则有t2≥2t＋3，即t2－2t－3≥0，解得t≥3，或t≤－1(舍去)．∴ab≥3，∴ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号．故ab的最小值为9.