人教版八年级数学全等三角形的常见模型总结

1人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理全等三角形的判定与性质类型一：角平分线模型应用1.角平分性质模型：（利用角平分线的性质）辅助线：过点G作GE⊥射线AC例题解析例：（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是cm.（2）如图2，已知，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC.图1图2【答案】①2（提示：作DE⊥AB交AB于点E）②，，，，.类型二：角平分线模型应用2.角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等)21PNPM43PQPNBACPAPQPM平分,一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等2两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使△OAC≌△OBC.例题解析例1：在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。证明：如图（1），过O作OD∥BC交AB于D，∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO，又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，∴△ADO≌△AQO，∴OD=OQ，AD=AQ，又∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB，又∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD，又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，∴∠BOP=∠BPO，∴BP=OB，∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：①如图（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。3④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。例2：如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．PBPCABAC，理由如下．如图所示，在AB的延长线上截取AEAC，连接PE．因为AD是BAC的外角平分线，故CAPEAP．在ACP和AEP中，ACAE，CAPEAP，AP公用，因此ACPAEP≌，从而PCPE．在BPE中，PBPEBE，而BEBAAEABAC，故PBPCABAC．例3：在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．在AB上截取AEAC，连结EP，根据SAS证得AEP≌ACP，∴PEPC，AEAC又BEP中，BEPBPE，BEABAC，∴ABACPBPC类型三：等腰直角三角形模型1、在斜边上任取一点的旋转全等：CDBPAECDBPA4操作过程：（1）将△ABD逆时针旋转90°，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）过点C作MC⊥BC，连AM导出上述结论.2、定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连AD.（1）.使BF=AE（AF=CE），导出△BDF≌△ADE.（2）.使∠EDF+∠BAC=180°，导出△BDF≌△ADE.例题解析例1：两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD得中点M，连接ME，MC，试判断△EMC的形状，并证明。证明：连接AM，证明△MDE≌△MAC.特别注意证明∠MDE=∠MAC.例2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.（1）是判断△OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？90BAC5思路：两种方法：类型四：三垂直模型（弦图模型）由△ABE≌△BCD导出由△ABE≌△BCD导由△ABE≌△BCD导出ED=AE-CD出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD例题解析例1：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，，D为AC中点，AF⊥BD于E，交BC于F，连接DF。求证：∠ADB=∠CDF.思路：方法一:过点C作MC⊥AC交AF的延长线于点M.先证△ABD≌△CAM，再证△CDF≌△CMF即可.（一）（二）（三）方法二：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH≌△CAF，再证△CDF≌△ADH即可.方法三：过点A作AM⊥BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt△AMF≌Rt△BMH，得出HF∥AC.由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为△ABC的中位线从而推出MD∥AB，又由于，故而MD⊥AC，MD⊥HF，所以MD为线段HF的中垂线.所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2，则∠ADB=∠CDF.90BAC90BAC6类型五：手拉手模型1.△ABE和△ACF均为等边三角形结论：（1）.△ABF≌△AEC（2）.∠BOE=BAE=60°（“八字模型证明”）（3）.OA平分∠EOF拓展：条件：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：（1）、AD=BE（2）、∠ACB=∠AOB（3）、△PCQ为等边三角形（4）、PQ∥AE（5）、AP=BQ（6）、CO平分∠AOE（7）、OA=OB+OC（8）、OE=OC+OD（（7），（8）需构造等边三角形证明）2.△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：（1）、BE=CD（2）BE⊥CD3.ABEF和ACHD均为正方形结论：（1）、BD⊥CF（2）、BD=CF四、半角模型条件：1,且+=180，两边相等.2思路：1、补短（旋转）7辅助线：①延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF②将△ADN绕点A顺时针旋转90°得△ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线结论：（1）MN＝BM＋DN；（2）CCMN=2AB；（3）AM、AN分别平分∠BMN、∠MND.2、翻折（对称）辅助线：①作AP⊥MN交MN于点P②将△ADN、△ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN＝BM＋DN，求证：（1）∠MAN＝45°；（2）CCMN=2AB；（3）AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.变式：在正方形ABCD中，已知∠MAN＝45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AH⊥MN，垂足为H，（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：AB＝AH