直线与椭圆的位置关系

直线与椭圆的位置关系椭圆的简单几何性质(三)前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的几何性质,可以体会到坐标法研究几何图形的重要作用,其实通过坐标法许多几何图形问题都可以转化为方程知识来处理.当然具体考虑问题,我们的思维要灵活,用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大提高分析问题、解决问题的能力.本节课,我们来学习几个有关直线与椭圆的综合问题.椭圆的简单几何性质(三)怎么判断它们之间的位置关系？问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？drdrd=r∆0∆0∆=0几何法：代数法：直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点0相交方程组有两解两个交点代数法=n2-4mp12222byax问题2：椭圆与直线的位置关系？----求解直线与二次曲线有关问题的通法。例1：直线y=x-与椭圆x2+4y2=2，判断位置关系。2121xyx2+4y2=2解：联立方程组消去y01452xx∆0因为，所以方程（１）有两个根，那么，相交所得的弦的弦长是多少？弦长公式：则原方程组有两组解….-----(1)由韦达定理51542121xxxx221)4ABABkxxxx（2||1||ABABkxx1、直线与圆相交的弦长A（x1,y1）直线与二次曲线相交弦长的求法dr2、直线与其它二次曲线相交的弦长（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）利用弦长公式:|AB|=212·1xxk1212122211114yyyyyykk2（）k表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标，一般由韦达定理求得x1+x2与y1+y2通法B（x2,y2）设而不求2l问：当直线斜率不存在时，弦长为？2122124·1xxxxk）（例2:已知点12FF、分别是椭圆22121xy的左、右焦点，过2F作倾斜角为4的直线交椭圆于A、B两点，求1FAB△的面积.设1122(,),(,)AxyBxy.由直线方程和椭圆方程联立方程组弦长公式：2||1||ABABkxx221)4ABABkxxxx（（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；例3:已知椭圆，过点P（2，1）作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在的直线方程。141622yx弦中点问题的两种处理方法：（2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。练习.已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.3、弦中点问题的两种处理方法：1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：（1）垂径定理：|AB|=（只适用于圆）（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）|AB|==222dr2122122124·11·11yyyykyyk）（2122122124·1·1xxxxkxxk）（小结分析:设00(,)Pxy是椭圆上任一点,试求点P到直线40xy的距离的表达式.0042xyd且2200118xy尝试遇到困难怎么办?作出直线l及椭圆,观察图形,数形结合思考.例4:已知椭圆2288xy,直线40xy,求椭圆上的一点P到直线l的最小距离?ll2l1第二课时直线与椭圆的位置关系3、弦中点问题的两种处理方法：1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；2）点差法：设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；2、弦长的计算方法：（1）垂径定理：|AB|=（只适用于圆）（2）弦长公式：（适用于任何二次曲线）|AB|==222dr2122122124·11·11yyyykyyk）（2122122124·1·1xxxxkxxk）（复习1.26页3题y=kx+1与椭圆有公共点,则m的范围?1522myx2.27页9题中心在原点,一个焦点为F(0，)的椭圆被直线y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆方程。253.28页11题已知椭圆C:，求1)以E为中心的弦所在的直线的方程；2)直线被椭圆C截得的弦的中点的轨迹；3)斜率为1的平行弦中点的轨迹方程；4)过G（1，1）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程;5)直线交椭圆C于P,Q两点,且OP⊥OQ,求直线的方程2241xy11,84:lyxm:lyxml2214536xy4.5.椭圆的两个焦点为F1、F2,过右焦点作直线与椭圆交于A，B两点,若△ABF2的面积为，求直线的方程。22121xy（x2,y2）（x1,y1）436.试确定实数m的取值范围,使得椭圆22143xy上存在关于直线2yxm对称的点.1122m7.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线y=x+1与该椭圆交于点P，Q，且,求椭圆的方程。0OQOP210PQ8.若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB中点，直线0M（0为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆方程。22OA⊥OB22||AB变式9.(2007年山东高考题）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标思考:已知椭圆22195xy的焦点为12,FF,在直线:60lxy上找一点M,求以12,FF为焦点,通过点M且长轴最短的椭圆方程.2212016xy分析:∵椭圆的焦点为(2,0),(2,0)关键是怎样求出椭圆的长轴大小.思维挑战题:试确定实数m的取值范围,使得椭圆22143xy上存在关于直线2yxm对称的点.1122m练习：已知椭圆，求（1）以P（2，-1）为中心的弦所在的直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；（3）过Q（8，2）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。141622yx