高等数学--函数的单调性与极值.

第三章第三讲函数的极值与导数一、函数的单调性与导数符号的关系导数大于零f(x)0，函数f(x)单调增加导数小于零f(x)0，函数f(x)单调减少。f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0f(x)0xyOx0f(x)=0【复习与思考】.82的单调性讨论xxy),0()0,(:.1定义域282.2xy)4(222xx得令,0.3y,2,221xxxyy)2,(20),2(02),0(2),2(00练习４.列表分析解xxy82,.5函数综上所述)(2,,)2,(；内单调增加在.)2,0(,)0,2(内单调减少在列表可使问题明朗化二、导数的简单应用【复习与思考】.1用导数在几何中的简单应.2应用导数在物理学中的简单.)()1(法线方程在某点处的切线方程和求曲线xfy.)2(点处的交角求两条相交的曲线在交.)1(速度或变量的变化率求物体运动的速度、加.)2(求变量间的相关变化率３。求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。45oxyab)(xfy1x2x4x5x6xoxyoxy2x6x称f(x2)为极大值极小值f(x１)称为极值点【函数极值】一、函数极值的定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值定义请同学们自己看书.函数极值怎么定义？有谁来说一说.设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值。记作:y极大值=f(x0)【函数极值的定义】(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即f(x)f(x0)，则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值。记作:y极小值=f(x0)极大值与极小值统称为极值，x0叫做函数的极值点。yOxabx1x2x3x41()fx4()fx2()fx3()fx观察上述图象，试指出该函数的极值点与极值，并说出哪些是极大值点，哪些是极小值点。(1)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点;(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值;【关于极值概念的几点说明】(4)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况。【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?yOxabx1x2x3x41()fx4()fx2()fx3()fxxyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x(不是极值点情形)问题:f(x)全部零点或不可导点一定是极值点吗？.疑点驻点只是函数的极值可.点也是极值可疑点使得函数导数不存在的Oxy0x【问题探究】问题:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?观察与思考：如何找极值点？找单调上升，下降分界点f(x)全部零点(驻点)或不可导点导数等于零的点和不可导点.判断oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6x极值可疑点三.求函数y=f(x)极值的一般步骤是：(3)找出所给函数的驻点和导数不存在的点；(4)顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格,考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；(5)求出极值点处的函数值，得到极值.);()2(xf求导数请同学总结求极值的步骤（1）确定函数的定义域.82的单调性讨论xxy),0()0,(:.1定义域282.2xy)4(222xx得令,0.3y,2,221xxxyy)2,(20),2(02),0(2),2(00４.极大值极小值)2(f极小值.8)2(f极大值,8解5.极值四、例题讲解例1xf(x)f(x)例２确定函数f(x)2x39x212x3的极值解(1)函数的定义域为()(2)f(x)6x218x126(x1)(x2)(3)导数为零的点为x11、x22(4)列表分析(5)函数f(x)(1)(12)(2)↗↘↗＋－＋y2x39x212x3１12００)2(f极小值.9)1(f极大值,2极大值极小值练习：见习题册2.132．13、求函数3222)(xxxf的极值和单调区间．解3222-232)(xxxxf0)(xf令20)(xxxf、不存在点为极大值f(1)=1,0)2(0(0)ff、极小值,,定义域单调增加区间),,2()1,0(单调减少区间)2,1()0,-(1x0(0,1)1(1,2)2不存在0不存在x)(xf)(xf0,,2极小值极大值极小值２1５确定函数f(x)的单调区间和极值3223xxx？？？？f(x)f(x)解(1)函数的定义域为(2)f(x)(3)导数为零的点,不可导点为(4)列表分析(5)函数f(x)在区间(]单调减少在区间[)上单调增加)(f极小值练习xf(x)f(x)解(1)函数的定义域为()(2)f(x)x2e–x(3x)(3)导数为零的点为x10，x２3,(4)列表分析(5)函数f(x)在[３)区间单调减少在区间(３]上单调增加(０)(０3)(3)－０3↘↗＋↗极大值例２1４确定函数f(x)x3e-x的单调区间和极值＋327)3(ef极大值00五、小结这可靠吗？这可靠吗？