直线的方程

课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）考纲要求考情分析1.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.通过对近三年的高考试题的统计分析可以看出，对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程．从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为载体，与其他知识相交汇进行综合考查．如：2012年浙江卷4、辽宁卷7、湖北卷5等．预测：2013年高考对本节内容的考查仍将以直线的斜率和方程为主．结合直线的斜率与方程，考查与其他曲线的综合应用.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(对应学生用书P158)1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.②倾斜角的范围为.正向向上0°0°≤α180°课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.正切值tanαy2－y1x2－x1课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）问题探究1：直线的倾斜角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？提示：由k＝tanθ及正切函数的性质，知在[0，π2)内k≥0.倾斜角越大，斜率越大，同样在θ∈(π2，π)k≤0也是倾斜角越大，斜率越大，这是由正切函数的单调性决定的。课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0平面直角坐标系内的直线都适用y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1A2＋B2≠0课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(1)确定直线的几何要素，一是直线的方向，二是直线过一个定点，只要这两个问题解决了，直线就完全确定了．在求直线方程中用的最广泛的就是点斜式，如果知道了直线过两个点，往往是先根据过两点的斜率公式求出直线的斜率，再使用点斜式方程求出直线方程．注意只有在斜率存在的情况下才能使用直线的点斜式方程．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）3．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．x＝x1＋x22y＝y1＋y22课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）问题探究2：截距是距离吗？提示：不是．截距是实数，可正、可负，也可为0.截距有横、纵截距之分，分别为直线与x轴、y轴交点的横、纵坐标．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α()A．等于0B．等于π4C．等于π2D．不存在答案：C课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）2．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：由4－mm＋2＝1，∴4－m＝m＋2，∴m＝1.答案：A课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）3．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为()A．－32B.32C．3D．－3解析：过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y－13－1＝x－－10－－1，即y＝2x＋3，令y＝0得x＝－32，即为所求．答案：A课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）4．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析：由题意得a＋2＝a＋2a，∴a＝－2或a＝1.答案：D课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）6．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为___．解析：∵kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3.由于A、B、C三点共线，∴a－3＝1，即a＝4.答案：4课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(对应学生用书P159)1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）2．求斜率，也可用k＝tanα(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3．利用斜率证明三点共线的方法：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A、B、C三点共线．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(1)求直线xcosθ＋3y＋2＝0的倾斜角的取值范围为_____．(2)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是()A．k≥34或k≤－4B．－4≤k≤34C．k≥34或k≤－14D．－34≤k≤4课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）【解析】(1)由条件，知直线的斜率k＝－33cosθ，∴－33≤k≤33.当0≤k≤33时，直线的倾斜角α满足0≤α≤π6；当－33≤k0时，直线的倾斜角α满足5π6≤απ.∴直线的倾斜角的取值范围为[0，π6]∪[5π6，π)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)如图所示，过点B(－3，－2)，P(1,1)的直线斜率为k1＝1－－21－－3＝34.过点A(2，－3)，P(1,1)的直线斜率为k2＝1－－31－2＝－4.从图中可以看出，过点P(1,1)的直线与线段AB有公共点可看做直线绕点P(1,1)从PB旋转至PA的过程，∴k∈[34，＋∞)∪(－∞，－4]．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）【答案】(1)[0，π6]∪[5π6，π)(2)A课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(1)若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数，一般根据k＝tanα求斜率．(2)若已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，(x1≠x2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(3)已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求k＝tanα的值域问题；已知斜率k的范围求倾斜角的范围，实质上是在[0，π2)∪(π2，π)上解关于正切函数的三角不等式问题．由于函数k＝tanα在[0，π2)∪(π2，π)上不单调，故一般借助该函数图象来解决此类问题．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(1)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A．(0，π2)B．(0，π)C．[－π4，π4]D．[0，π4]∪[3π4，π)课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)(2012年贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是()A．－1k15B．k1或k12C．k15或k1D．k12或k－1课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）解析：(1)直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.当0≤k≤1时，倾斜角的范围是[0，π4]，当－1≤k0时，倾斜角的范围是[3π4，π)．(2)设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k，令－31－2k3，解不等式可得．也可以利用数形结合．答案：(1)D(2)D课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程．要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）求适合下列条件的直线方程：(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；(2)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.【思路启迪】选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）【解】(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）(2)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组x＝1，2x＋y－6＝0，求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组2x＋y－6＝0，y＋1＝kx－1，得两直线交点为x＝k＋7k＋2，y＝4k－2k＋2.(k≠－2，否则与已知直线平行)．课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）则B点坐标为k＋7k＋2，4k－2k＋2.由已知k＋7k＋2－12＋4k－2k＋2＋12＝52，解得k＝－34，∴y＋1＝－34(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.课时作业课堂互动探究课前自主回顾与名师对话高考总复习·课标版·A数学（文）在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点