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随堂演练能力课时6天体运动中的“四大难点”随堂演练考点四多星模型两颗可视星构成的双星系统三星系统(正三角形排列)三星系统(直线等间距排列)示意图向心力来源彼此给对方的万有引力另外两星球对其万有引力的合力另外两星球对其万有引力的合力随堂演练【例题】2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图3所示。这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。我国今年底也将发射全球功能最强的暗物质探测卫星。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的是()图3随堂演练A.双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1B.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1C.双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2D.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2随堂演练解析双黑洞绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等，选项A错误；双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞间的距离为L，由GM1M2L2＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1，选项B正确；由v＝ωr得双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项D错误。答案B随堂演练【拓展延伸】在【例4】中若双黑洞间的距离为L，其运动周期为T，引力常量为G，则双黑洞总质量为()A.GL34π2T2B.4π2L33GT2C.4π2L3GT2D.4π2T3GL2解析设双黑洞质量分别为M1和M2，绕连线上O点做匀速圆周运动的半径分别为r1、r2，则有r1＋r2＝L。由万有引力提供向心力得GM1M2L2＝M1(2πT)2r1＝M2(2πT)2r2，得M2＝4π2GT2r1L2，M1＝4π2GT2r2L2，总质量M1＋M2＝4π2L3GT2，选项C正确。答案C随堂演练【变式训练1】[双星模型](多选)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图4所示。若AOOB，则()图4A.星球A的质量一定大于星球B的质量B.星球A的线速度一定大于星球B的线速度C.双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大BD随堂演练【变式练习2】[三星模型](2015·安徽理综，24)由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式；三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：随堂演练(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T。随堂演练反思总结解决双星、多星问题，紧抓四点：(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。(3)星体的角速度相等。(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。随堂演练突破一近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的参量比较近地卫星(r1、ω1、v1、a1)同步卫星(r2、ω2、v2、a2)赤道上随地球自转的物体(r3、ω3、v3、a3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2＞r3＝r1角速度由GMmr2＝mω2r得ω＝GMr3，故ω1＞ω2同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2＝ω3ω1＞ω2＝ω3线速度由GMmr2＝mv2r得v＝GMr，故v1＞v2由v＝rω得v2＞v3v1＞v2＞v3向心加速度由GMmr2＝ma得a＝GMr2，故a1＞a2由a＝ω2r得a2＞a3a1＞a2＞a3随堂演练【例1】(多选)如图1所示，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两颗卫星及物体C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是()图1A.vB＞vA＞vCB.ωA＞ωB＞ωCC.FA＞FB＞FCD.TA＝TC＞TB随堂演练解析A为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据v＝ωr可知，vA＞vC，再根据GMmr2＝mv2r得到v＝GMr，可见vB＞vA，所以三者的线速度关系为vB＞vA＞vC，故选项A正确；由ω＝2πT可知TA＝TC，再由GMmr2＝m(2πT)2r可知TA＞TB，因此它们的周期关系为TA＝TC＞TB，它们的角速度关系为ωB＞ωA＝ωC，所以选项D正确，B错误；由F＝GMmr2可知FA＜FB＜FC，所以选项C错误。答案AD随堂演练【变式训练】1.(2016·江西鹰潭模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24h，所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所示，则下列关于卫星的说法中正确的是()图2C随堂演练A.a的向心加速度等于重力加速度gB.c在4h内转过的圆心角为π6C.b在相同的时间内转过的弧长最长D.d的运动周期可能是23h随堂演练突破二卫星的变轨问题1.变轨原理及过程人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图3所示。图3(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。(2)在A点点火加速，由于速度变大，进入椭圆轨道Ⅱ。(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。随堂演练2.卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增加时，GMmr2mv2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速率比原轨道时减小。(2)当卫星的速率突然减小时，GMmr2mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GMr可知其运行速率比原轨道时增大。卫星的发射和回收就是利用这一原理。随堂演练【例2】(多选)在完成各项既定任务后，“神舟九号”飞船于2012年6月29日10时许返回地面，主着陆场位于内蒙古四子王旗地区。如图4所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，Q为轨道Ⅱ上的一点，M为轨道Ⅰ上的另一点，关于“神舟九号”的运动，下列说法中正确的有()图4随堂演练A.飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度B.飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过M的速度C.飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期D.飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M的加速度解析飞船在轨道Ⅱ上由Q点向P点运行时需要克服万有引力做功，所以经过P点时的动能小于经过Q点时的动能，可知选项A正确；飞船在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，故飞船经过P、M两点时的速率相等，由于飞船在P点进入轨道Ⅱ时相对于轨道Ⅰ做向心运动，可知飞船在轨道Ⅱ上P点速度小于轨道Ⅰ上P点速度，故选项B正确；根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期，选项C错误；根据牛顿第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度与在轨道Ⅰ上经过M的加速度大小相等，选项D错误。答案AB随堂演练反思总结1.变轨的两种情况2.相关物理量的比较(1)两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢ＞vⅡB，vⅡA＞vⅠ。随堂演练(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能减小)，图中vⅡA＞vⅡB，EkⅡA＞EkⅡB，EpⅡA＜EpⅡB。(3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ＞vⅢ。3.卫星的对接航天飞机与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体追赶问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。随堂演练【变式训练】2.(多选)“神舟十号”飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施了与“天宫一号”的自动交会对接。这是“天宫一号”自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接。交会对接前“神舟十号”飞船先在较低的圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的“天宫一号”对接。如图5所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速。下列关于“神舟十号”变轨过程的描述，正确的是()随堂演练图5A.“神舟十号”必须在Q点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇B.“神舟十号”在M点经一次加速，即可变轨到轨道2C.“神舟十号”在M点变轨后的速度大于变轨前的速度D.“神舟十号”变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期随堂演练解析飞船经一次加速后由圆轨道1变轨到与加速点相切的椭圆轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道2相切，近地点与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在M点加速，才能在P点与“天宫一号”相遇，A错误；飞船在M点经一次加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到轨道2，B错误；飞船在M点加速后由圆轨道1变轨到椭圆轨道，则在M点变轨后的速度大于变轨前的速度，C正确；由T＝2πr3GM可知轨道半径增大，周期增大，D项正确。答案CD随堂演练突破三天体运动中的能量问题1.卫星变轨问题的分析，一般包括运动状态与能量的变化，即线速度、角速度、周期以及动能、势能与机械能的变化，通常可以利用万有引力做功，确定动能和势能的变化。若只有万有引力做功，则机械能守恒。随堂演练2.卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动，轨道半径增大，万有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒，稳定在圆轨道上时需满足GMmr2＝mv2r，致使卫星在较高轨道上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大；相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率，但机械能减小。随堂演练【例3】(多选)(2015·广东理综，20)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有()A.探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D.探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大随堂演练解析由牛顿第二定律得GMmR2＝mv2R，解得v＝GMR，所以2v＝2×GMR＝2GMR，所以探测器脱离星球的发射速度与探测器的质量无关，A错误；因为地球与火星的MR不同，所以探测器脱离两星球所需的发射速度不相等，C错误；探测器在地球表面受到的引力F1＝GM地mR2地，在火星表面受到的引力为F2＝GM火mR2火，F1F2＝M地R2火M火R2地＝52，B正确；探测器脱离星球的过程中，引力做负功，引力势能逐渐增大，D正确。答案BD随堂演练【变式训练】3.2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图6，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道