第一类曲线积分的计算

1第一类曲线积分的计算1、定义定义1：设L为平面上可求长度的曲线段，)y,x(f为定义在L上的函数．对曲线L作分割T，它把L分成n个可求长度的小曲线段)n,,2,1i(Li，iL的弧长记为is，分割T的细度为ini1smaxT，在iL上任取一点(i,).n,,2,1i)(i若存在极限Js),(flimiin1ii0T且J的值与分割T及点),(ii的取法无关，则称此极限为)y,x(f在L上的第一型曲线积分，记作.ds)y,x(fL（1）定义2：若L为空间可求长曲线段，)y,x(f为定义在L上的函数，则可类似地定义)z,y,x(f在空间曲线L上的第一型曲线积分为Js),,(flimiiin1ii0T，(此处is为iL的弧长,ini1smaxT,J为一常数),并且记作L.ds)z,y,x(f（2）2、物理意义（1）设某物体的密度函数f（P）是定义在上的连续函数．当是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对作分割,把分成n个可求长度的小曲线段i（i=1，2，…，n)，并在每一个i上任取一点Pi由于f（P）为上的连续函数,故当i的弧长都很小时，每一小段i的质量可近似地等于f（Pi）i,其中i为小曲线段i的长度.于是在整个上的质量就近似地等于和式2in1ii)P(f当对的分割越来越细密时,上述和式的极限就应是该物体的质量。（2）空间曲线L的重心坐标为(,,)(,,)yzLLxxyzdlMxMxyzdl,(,,)(,,)zxLLyxyzdlMyMxyzdl,(,,)(,,)xyLLzxyzdlMzMxyzdl（3）曲线L的绕z轴(x,y轴)的转动惯量是22()(,,)zLJxyxyzdl3、几何意义1）当被积函数为1时,积分的值恰为曲线的长度。（2）当.ds)y,x(f,0)y,x(fL表示以L为准线，以平行于z轴的线为母线的曲柱面的面积。4、性质第一型曲线积分具有下述一些重要性质:（1）若k,,2,1idsy,xfLi存在，k,,2,1ici为常数，则dsy,xfciLk1ii也存在，且.dsy,xfcdsy,xfcLik1iiiLk1ii（2）若曲线段L由曲线k21L,,L,L首尾相接而成，且i(dsy,xfiL)k,,2,1都存在，则dsy,xfL也存在，且dsy,xfdsy,xfk1iLLI。（3）若dsy,xfL与dsy,xgL都存在，且在L上,y,xgy,xf则dsy,xgdsy,xfLL。（4）若dsy,xfL存在，则.dsy,xfL也存在，且dsy,xfdsy,xfLL。3（5）若dsy,xfL存在，L的弧长为s，则存在常数c,使得,csdsy,xfL这里y,xfsupcy,xfinfLL。5、第一型曲线积分的计算定理1设有光滑曲线L：,,t,ty,tx函数y,xf为定义在L上的连续函数，则.dtttt,tfdsy,xf2'2'L（3）定理2当曲线L由方程b,ax,xy给出，且x在b,a上有连续导函数时，dxx1x,xfdsy,xf2'baL(5)定理3当曲线L由方程d,cy,yx给出，且y在d,c上有连续导函数时,Ldc2'.dyy1y,yfdsy,xf(6)定理4设函数)y,x(f在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为0xxtyytttTzzt则0222,,,,'''Tltfxyzdsfxtytztxtytztdt。定理5设函数)y,x(f在光滑曲线上有定义且连续，曲线的方程为12(,,)0(,,)0xyzxyz则可化为以x为参数的参数方程。然后化为定理4的形式。022,,,,1''Tltfxyzdsfxyxzxyxzxdx。定理6设函数)y,x(f在光滑曲线上有定义且连续，曲线的的方程为412(,)(,)zgxyzgxy则在一定的条件下可化为以z为参数的参数方程，再化为定理4的形式。022,,,,''1Tltfxyzdsfxzyzzzxzyzdz。历年真题1、计算L2dsx，其中L为球面2222azyx被平面0zyx所截得的圆周。【解析】由对称性知LL22L2dszdsydsx所以.a32ds3ads)zyx(31dsx3L2L222L22、求Lds)zxyzxy(，其中L是球面2222azyx与平面0zyx的交线。【解析】Lds)zxyzxy(Lds)zxyzxy(221L2222ds)]zyx()zyx[(21L222ds)zyx(21L32ads2a3、已知曲线2x0(xy:L2，则Lxds(2009，数一，4分)【解析】5613)x41(dx4181dxx41xxds2202202L4、已知曲线2x1y:L，则曲线积分L22ds)yx((1989，数一，3分)【解析】将积分曲线方程2x1y即)0y(1yx22代入被积函数，得LL22ds1ds)yx(5、设L为椭圆13y4x22，其周长为a，则L22ds)y4x3xy2((1998，数一，3分)【解析】将积分曲线方程13y4x22即12y4x322代入被积函数，得a12ds12ds)y4x3(LL22由于L关于x轴对称，函数xy2关于变量y为奇函数，所以0xyds2L所以a12ds)y4x3xy2(L22