精编新版高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题考核题库(含参考答案)

2019年高中数学单元测试试题空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分得分第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，CC1=22E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A2B3C2D12．(2009·全国Ⅰ)设a、b、c是单位向量，有a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()A．－2B.2－2C．－1D．1－2解析：解法一：设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(cosθ，sinθ)，则(a－c)·(b－c)＝(1－cosθ，－sinθ)·(－cosθ，1－sinθ)＝1－sinθ－cosθ＝1－2sinθ＋π4因此当sinθ＋π4＝1时，(a－c)·(b－c)取到最小值1－2.解法二：(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2＝1－(a＋b)·c≥1－|a＋b||c|＝1－a＋b2＝1－2.3．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M是棱A1A的中点，O是BD1的中点，则MO的长为()(A)33(B)22(C)2(D)364．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为()(A)510(B)515(C)54(D)325．下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是()(A)OCOBOADM2(B)OCOBOADM213151(C)MCMBMA20(D)OCOBOAOM06．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，1DDBCBA＝()(A)11BD(B)BD1(C)1DB(D)1BD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题7．（理）在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，已知∠BAD＝∠A′AB＝∠A′AD＝60°，AB＝3，AD＝4，AA′＝5，则|AC′→|＝________.8．（理）设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.9．已知O为坐标原点，(1,2,3)OA，(2,1,2)OB，(1,1,2)OC，若点M在直线OC上运动，则AMBM的最小值为▲.10．点(1,3,4)M在xOy平面上的射影坐标为．11．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，,EF分别为线段11,AABC上的点，则三棱锥1DEDF的体积为____________.12．已知点A(1，2，0)，B(－2，1，3)，若点P(x，y，z)为直线AB上任意一点，则直线AB的向量参数方程为(x，y，z)＝______，若BPAP2时，点P的坐标为______.三、解答题13．在三棱柱111ABCABC中，1111,60,1,2.AABCAACAAACBCAB（1）如果D为AB的中点，求证：1BC平面11;ACCA（3）求直线AB与平面11ACCA所成角的大小。14．已知斜三棱柱111ABCABC，90BCA，2ACBC，1A在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知11BAAC。(I）求证：1AC平面1ABC；(II）求1CC到平面1AAB的距离；(III）求二面角1AABC余弦值的大小。15．如图所示，已知四面体OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，Q为OB的中点，P为OA的中点，若ABOC，试用向量方法证明：PMQN.16．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点，求证：MN∥平面BB1D1D．ABMCNQPO17．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小．18．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝1，BB1＝2，连接B1C，过B作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F,(1)求证：A1C⊥平面EBD；(2)求点A到平面A1B1C的距离：(3)求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．19．如图，在棱长为3的正方体1111ABCDABCD中，11AECF.⑴求两条异面直线1AC与1DE所成角的余弦值；⑵求直线1AC与平面1BEDF所成角的正弦值.ABCDPA1B1D1C120．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCDABCD中，P是侧棱1CC上的一点，CPm．（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角为60º；（2）在线段11AC上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，1DQ⊥AP，并证明你的结论．21．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，1PA=AC=AB=12，N为AB上一点，AB=4AN,M、S分别为PB,BC的中点.以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立如图空间直角坐标系.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.22．(本小题满分10分)如图，PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.(Ⅰ)求二面角BACM的的余弦值；（Ⅱ）求点C到面MAB的距离.23．如图，直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为矩形，1,2,,DADDaDCaEF分别为1,CDDB的中点.(1)求证：11EFADDA平面∥;(2)求证：;1EFDAB平面(3)求1ED与平面1DAB所成的角的大小。24．如图5，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径2AB,C是AB的中点，D为AC的中点．（Ⅰ）证明：平面POD平面PAC;（Ⅱ）求二面角BPAC的余弦值.(2011年高考湖南卷理科19)（本小题满分12分）解法1：连结OC，因为,OAOCDAC是的中点,所以ACOD.又PO底面⊙O，AC底面⊙O，所以ACPO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD平面PAC。（II）在平面POD中，过O作OHPD于H，由（I）知，平面,PODPAC平面所以OH平面PAC，又PA面PAC，所以.PAOH在平面PAO中，过O作OGPA于G，连接HG，则有PA平面OGH，从而PAHG，故OGH为二面角B—PA—C的平面角。在2,sin45.2RtODAODOA中在2222102,.5122POODRtPODOHPOOD中在22216,.321POOARtPOAOGPOOA中在10155,sin.563OHRtOHGOGHOG中所以21510cos1sin1.255OGHOGH故二面角B—PA—C的余弦值为10.5解法2：（I）如图所示，以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,2)OABCP，11(,,0)22D设1111(,,)nxyz是平面POD的一个法向量，则由110,0nODnOP，得111110,2220.xyz所以111110,,1,(1,1,0).zxyyn取得设2222(,,)nxyz是平面PAC的一个法向量，则由220,0nPAnPC，得222220,20.xzyz所以222222,2.1,xzyz取z得2(2,2,1)n。因为12(1,1,0)(2,2,1)0,nn所以12.nn从而平面POD平面PAC。（II）因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为3(0,1,0).n由（I）知，平面PAC的一个法向量为2(2,2,1)n,设向量23nn和的夹角为，则2323210cos.||||55nnnn由图可知，二面角B—PA—C的平面角与相等，所以二面角B—PA—C的余弦值为10.525．如图，正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1，高为2，M为线段AB的中点.求：（1）三棱锥1CMBC的体积；（2）异面直线CD与1MC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）(本题满分12分)本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.26．如图5所示，在三棱锥ABCP中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD于点D，1AD，3CD，2PD．（1）求三棱锥ABCP的体积；（2）证明△PBC为直角三角形．（本小题满分14分）27．平面图形111ABBACC如图4所示，其中11BBCC是矩形，12,4BCBB，2ABAC，11115ABAC。现将该平面图形分别沿BC和11BC折叠，使ABC与111ABC所在平面都与平面11BBCC垂直，再分别连接111,,AABACA,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。图5BPACD（Ⅰ）证明：1AABC；（Ⅱ）求1AA的长；（Ⅲ）求二面角1ABCA的余弦值。【2012高考真题安徽理18】（本小题满分12分）28．在四棱锥PABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，//ABCD，2ADC，1ABADPD，2CD．设Q为侧棱PC上一点，PQPC，试确定的值，使得二面角QBDP为45°．29．正三棱柱111CBAABC的所有棱长都为4，D为的1CC中点。(1)求证：1AB⊥平面BDA1；(2)求二面角BDAA1的余弦值。30．已知正三棱柱111CBAABC的各条棱长都相等，P为BA1上的点，BAPA11,且ABPC.(1)求的值；(2)求异面直线PC与1AC所成角的余弦值。P1C1B1ACBA