数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{}na、{}nb分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①[例4]求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa.[例5]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…[例7]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(nfnfan（2）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（3）111)1(1nnnnan（4）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan(6)nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则[例9]求数列,11,,321,211nn的前n项和.[例10]在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.[例11]求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.[例12]求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.[例13]数列{an}：nnnaaaaaa12321,2,3,1，求S2002[例14]在各项均为正数的等比数列中，若103231365logloglog,9aaaaa求的值.七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.[例15]求11111111111个n之和[例16]已知数列{an}：11))(1(,)3)(1(8nnnnaannna求的值.三观就是世界观、价值观、人生观，这「三观」不合的人是不太可能做朋友的，勉强不来的。物以类聚，人以群分。三观，才是人和人之间最大的障碍！三观不合的人，所说的话难有交集，更谈不上碰出火花，寒暄片刻尚可，相处时间稍长，便如鸡同鸭讲，彼此都觉得索然无味，甚至有可能互相伤害。有一则寓言说，青蛙和老鼠成了好友，想时时刻刻都在一起。于是，它们把脚绑在了一起。刚开始，它们在地面上行走正常，还能吃到谷子。当它们来到池塘边时，青蛙一下就跳进了水里，把老鼠也拖下了水。青蛙在水里玩得高兴，而可怜的老鼠不会游泳，淹死了。最后，老鼠的尸体浮上水面，它的脚仍然和青蛙绑在一起。一只老鹰发现了老鼠，便冲向水面，抓起老鼠，而青蛙也跟着被提出水面，成了老鹰的美食。三观不同的人密切来往，就像寓言中的青蛙和老鼠，只会给双方带来伤害。摸不透的心就算了，不必费力去揣摩；看不清的人就远躲，不必劳神去猜测。人生短暂，精力有限。我们应该将所有倾注于所爱的人、相处愉快的人。对于那些志不同道不合的朋友，我们大可以选择悄悄离开。毕竟，谁的生活里也不会缺了一个人就不行。所谓打交道，交在其次，重要的是有相同的道，也就是「三观」要合。二、大路朝天，各走一边人与人之间互相理解并不容易，观念差异大的人则更难。贪婪的人怎么也无法理解有些人视钱财如浮云，势利的人怎么也不会相信有些人对待别人可以做到一视同仁。人都容易以自己内心所想的为标准，以此来分析和判断他人。如果有人的言行跟自己内心的标准不一致，则认为他人是装腔作势，虚伪透顶，这实在是自以为是！在这个世界上，总有一些人是看你不顺眼的。没关系，你走你的阳关道，我过我的独木桥，相安无事便好。朋友，没有必要强求，意气相投就真心相处，看不惯的就拂袖而去，大路朝天，各走一边。不必把太多人，请进生命里。若他们走进不了你内心，就只会把你的生活搅扰得一地鸡毛。生活无需过多陪衬，三观不和的朋友多了，越热闹反而越让人感到冷清。三、圈子不同，不必强融人是群居动物，怎么可能离开群居而独自生存？这是圈子存在的必要性。对我们平常百姓来说，处世方式相近，三观较为一致的，自然就在同一个圈子，相互帮助，同进同退。如果我们一路同行，那便风雨同舟；如果我们只是彼此的过客，那便淡淡一笑，无需多言。以利相交，利尽则散；以势相交，势败则倾；以权相交，权失则弃；以情相交，情断则伤；唯以心相交，方能成其久远。朋友不在多，而在是否能同道，是否能知心。同道则能共行，知心则能互信。当然，志同道合指的并不是完全一样，而是求同存异，互相包容。人生就像一列行驶的列车，中途陆陆续续有人上车，也有人下车。