03-第三章曲线拟合

第三章曲线拟合在科学与工程技术的很多领域，人们常碰到大量带有误差的实验数据，这时采用高次插值会出现震荡，采用分段插值则会使函数非常复杂，无法准确反映被测函数的整体性态，因此，不适合用插值法。如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。一、问题的提出二、函数逼近问题的一般提法：对于函数类A中给定的函数fx，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类BA中寻找一个函数，使与()fx之差在某种度量意义下最小。注：本章中所研究的函数类A通常为区间,ab上的连续函数，记做,Cab;而函数类B通常是代数多项式或三角多项式。PxPx意义下的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。三、常用的度量标准：(一)最佳一致逼近若以函数f(x)和P(x)的最大误差作为度量误差f(x)－P(x)“大小”的标准,在这种,maxxabfxPxfxPx(二)最佳平方逼近：采用作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平方逼近或均方逼近。22bafxPxdxfxPx3.1最佳平方逼近一、内积空间1、定义：XXX,xy,xy称二元函数为内积。X设为(实)线性空间,对中每对元素在上定义了内积是指都有实数与之对应，且这个对应满足:(2),0,0,0;xxxxx(1)(3),xy则称为内积空间，,,,,,,;xyzxzyzxyzX(4),,,,;;xyxyxyXR,,,,;xyyxxyX2、内积的性质设是一内积空间，则对任意的，有X,xyX（1）柯西—施瓦兹不等式：),)(,(),(2yyxxyx（2）三角不等式：222yxyx3、两种重要的内积空间n维欧氏空间，内积就是两向量的数量积，即连续函数空间，内积可以定义为积分的运算或带权函数的积分运算，即nR,.Tiixyxyxy],[)(),(,)()()())(),((baCxgxfdxxgxfxxgxfba],[)(),(,)()())(),((baCxgxfdxxgxfxgxfba或,Cab4、权函数的定义设(x)定义在有限或无限区间[a,b]上，如果具有下列性质：(1)对任意x[a,b]，(x)≥0；(2)积分存在，(n=0,1,2,…)；dxxxnba)((3)对非负的连续函数g(x)若()()0,bagxxdx则在(a,b)上g(x)0.称满足上述条件的(x)为[a,b]上的权函数。5、Euclid范数及其性质定义,,fxCab设22,bafxfxdxff称为fx的Euclid范数。则称性质对于任何下列结论成立：22,fgfg,,,fgCab1、2、3、222fgfg222222222fgfgfg（Cauchy-Schwarz不等式）(三角不等式)(平行四边形定律)二、相关概念1、距离线性赋范空间中两元素之间的距离为dxxpxfxpxfxgxfdistba22)]()([)()())(),((连续函数空间中，与的距离即为22(,)(,)()iidisxyxyxyxyxy因此，中两点与之间的距离即为2(,)(,)disxyxyxyxy,xynRxy,Cabfxgx也称为2-范数意义下的距离2、正交若则称与正交。,0,xy连续函数空间中，设若badxxgxfxgf0)()()(),(则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交。进一步,设在[a,b]上给定函数系,若满足条件)(),1,0,(,0,0)(),((是常数kkkjAkjkjAkjxx则称函数系是[a,b]上带权(x)的正交函数系。xy,Cab,,fxgxCabkxkx)(,),(),(10xxxn0)()()()(221100xaxaxaxann0210naaaa三、内积空间上的最佳平方逼近1．函数系的线性关系定义：设函数在区间上连续，,ab如果关系式当且仅当时才成立，函数在上是线性无关的，否则称线性相关。,ab则称01000101011101(,,,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnnGG：连续函数在上线性无关的充分必要条件是它们的克莱姆(Gram)行列式)(,),(),(10xxxn定理,ab0,nG其中，)()()()(1100xaxaxaxSnn)(,),(),(10xxxn是任意实数，则01{,,,}nspan)(,),(),(10xxxn并称是生成集合的一个基底。的全体是的一个子集，记为,ab01,,...,naaa,Cab设是上线性无关的连续函数,四、连续函数的最佳平方逼近1.对于给定的函数],[)(baCxf要求函数22*()()()()min()()()bbaaSxxfxSxdxxfxSxdx*01,,...,nSspan使若这样的存在，*Sx上的最佳平方逼近函数。fx则称为在区间,ab特别地，若1,,...,nspanxx则称*Sx为fx,ab在上的次最佳平方逼近多项式。n求最佳平方逼近函数的问题可归结为求它的系数,使多元函数**0()()njjjSxax**1*0,,,naaadxxaxfxaaaIjnjjban2010)()()(),,,(取得极小值。由于是关于的二次函数，故利用多元函数取得极值的必要条件，可得01,,...nIaaa01,,...naaa0,kIa(k=0,1,2,…,n)02()()()()0nbjjkajkIxfxaxxdxa得方程组),,2,1,0(,)()()()()()(0nkdxxxfxdxxxxakbajkbanjj如采用函数内积记号,)()()(),(,)()()(),(dxxxfxfdxxxxkqakjkbajk方程组可以简写为0(,)(,),(0,1,2,,).nkjjkjafkn写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf法方程组！由于0,1,…,n线性无关，故Gn0，于是上述方程组存在唯一解*(0,1,,).kkaakn从而肯定了函数f(x)在中如果存在最佳平方逼近函数，则必是**0()()njjjSxax2{1,,,,},nnspanxxx[,][0,1],ab()1x(),iixx101(,)1ijijxdxij特别，若11213111213141213141513111213121nnnGnnnnnnG该法方程的系数阵称为希尔伯特矩阵。(),xfxe0,1,x例2设求最佳二次平方逼近多项式。解设*2012()Sxaaxax10(1,)1.7183,xfedx10(,)1,xxfxedx1220(,)0.7183,xxfxedx51413141312131211210aaa1.71831.00000.718301.013,a10.851,a20.839,a*2()1.0130.8510.839Sxxx五、曲线拟合的最小二乘法例：考察某种纤维的强度与其拉伸倍数的关系,下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应的拉伸倍数的记录:编号拉伸倍数强度编号拉伸倍数强度11.91.41355.5221.3145.2532.11.81565.542.52.5166.36.452.72.8176.5662.72.5187.15.373.531986.583.52.72087944218.98.51043.52298114.54.2239.58.1124.63.524108.1iiyxiiyx1234567891012345678912345678910123456789xxy10)(---------(1)须找到一种度量标准来衡量什么曲线最接近所有数据点。纤维强度随拉伸倍数增加而增加，且24个点大致分布在一条直线附近，因此，可以认为强度y与拉伸倍数x的关系是线性的其中为待定系数，我们希望与所有的数据点越接近越好。01,01(),yxx(,)iixy()iiiyxy令在回归分析中称为残差，一般使用mii022220(()),miiiyxy准偏离程度大小的度量标与数据点作为衡量),()(iiyxxy称为平方误差。在回归分析中称为残差平方和。从而确定(1)中的待定系数:mii0222miiiyxy02))((注意(1)式是一条直线,关系的关系并不一定是线性但yx,因此将问题一般化为:什么是最小二乘法呢？)(,xSyyx的关系为设,)(来自函数类其中xS来自线性函数类中如)()1(xy为给定的一组数据设),,1,0)(,(miyxii),,1,0)((nixi的基函数为设函数类mn一般要求即生成的函数集是由也称,),,1,0)((nixi)}(,),(),({10xxxspannmii0222miiiyxS02))((仍然定义平方误差njjjxaxS0)()(我们选取的度量标准是)(*xS中选取一个函数在函数类njjjxaxS0*)()(*)(*)(*)(*1100xaxaxann22*miiiyxS02))(*(miiixSyxS02)())((min22)(minxS中的任意函数为其中mjjjxaxS0)()(---------(2)---------(3)数据拟合的最小二乘法的方法为的求函数称满足条件njjjxaxS0*)()(*)3(为最小二乘解njjjxaxS0*)()(*为拟合系数为拟合函数),,1,0(,)()(0njaxaxSjnjjj),,1,0(,)(njaxSj如何求拟合系数后在确定了拟合函数呢？满足拟合条件使得)3()()(*0*njjjxaxS误差称为最小二乘解的平方22*miinjijjyxa020))((miiiyxS02))((22njjjxaxS0)()(由的函数为拟合系数),,1,0(njaj可知因此，可假设),,,(10naaamiinjijjyxa020))((因此求最小二乘解转化为二次函数最小二乘法的求法：的问题点极小值的最小值求*,*,*,)(),,,(1010nnaaaaaa由多元函数取极值的必要条件01(,,,)0,nkaaaa0,1,,,kn)]())((2[00ikmiinjijjxyxaka0,得即000()()().mnmjjikiikiijiaxxyx00[()()()]0,mnjjikiikiijaxxyx000()()(),mnmjjikiikiij