指数函数的图像与性质

引入问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？问题分裂次数细胞总数1次2次3次4次x次……xy2个2个4个8个162x21222324研究引入问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？问题截取次数木棰剩余1次2次3次4次x次尺21尺41尺81尺161尺x)21(xy)21(研究。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(:定义;)1(均为幂的形式;)2(底数是一个正的常数.x)3(在指数位置自变量xy)21(2,xy提炼:以上两个函数有何设问1共同特征？思考(1)为什么定义域为R？(2)为什么规定底数a＞０且a≠１呢？。域是是自变量，函数的定义函数，其中叫做指数一般地，函数Rxaaayx)1,0(范围的说明：关于底数a(1)0a时(2)0a时(3)1a时0xa当x时，无意义！0xa当x时，=0！!x对于x的某些数值,可使a无意义1(2)!2xyx如在处无意义1!x对于xR,都有a,!是一个常量没有研究的必要在规定以后，对于任何xR，xa都有意义，xa0.因此指数函数的定义域是R，且值域是(0,+∞).认识：0,1aa8xy(21)xyaxy（口答）判断下列函数是不是指数函数，为什么？√√例题③()2yx(4)xy1225xyxyx10xy①②12a1a且④⑤⑥⑦⑧√[题后感悟]判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构形式，其具备的特点为：已知指数函数的图像经过点求的值.分析：指数函数的图象经过点，故，即，解得于是有0,1xfxaaa3,,013fff、、3,3f3a13a3xfx思考：确定一个指数函数需要什么条件？想一想例题1331fππ,所以：001fπ,113.fππ例题：已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．解析：设指数函数f(x)＝ax(a0且a≠1)，由题意得a2＝4，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(－3)＝2－3＝18.在同一直角坐标系画出，的图象，并思考：两个函数的图象有什么关系？2xy12xy设问2：得到函数的图象一般步骤：列表、描点、连线作图x2xy…-3-2-1.5-1-0.500.511.523…………-3-2-1.5-1-0.500.511.523………1()2xyx0.130.250.350.50.7111.422.848842.821.410.710.50.350.250.138765432-6-4-22468765432-6-4-22468765432-6-4-22461xy2xy2187654321-6-4-224687654321-6-4-224687654321-6-4-2246认识分组画出下列四个函数的图象：(1)y=2x(2)y=(1／2)x(3)y=3x(4)y=(1／3)x011xyxy2xy21xy3xy31011xyxy21xy31xy2xy3011xyxy01xay)10(a01xay)1(axyF:\指数函数性质图象.rar图象性质yx0y=1(0,1)y=ax(a1)yx(0,1)y=10y=ax(0a1)定义域:值域:恒过点：在R上是单调在R上是单调a10a1R(0,+∞)(0,1),即x=0时,y=1.增函数减函数指数函数的图像及性质当x0时，y1.当x0时，.0y1当x0时，y1；当x0时，0y1。01xyxy2xy21xy3xy31xy31xy21底互为倒数的两个函数图像关于y轴对称在第一象限沿箭头方向底增大深入探究你还能发现指数函数图象和底数的关系吗？XOYY=1y=3Xy=2x观察右边图象，回答下列问题：问题一：图象分别在哪几个象限？问题二：图象的上升、下降与底数a有联系吗？问题三：图象中有哪些特殊的点？答：四个图象都在第＿＿＿＿象限答：当底数＿＿时图象上升；当底数＿＿＿＿时图象下降．答：四个图象都经过点＿＿＿＿．Ⅰ、Ⅱ1a01a)1,0(1()2xy1()3xy底数a由小变大时函数图像在第一象限内按＿＿＿＿时针方向旋转.逆指数函数的图象函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)恒过定点________．利用指数函数y＝axa0且a≠1恒过定点0，1的性质求解.[解题过程]原函数可变形为y－3＝ax－3(a0，且a≠1)，将y－3看做x－3的指数函数，∵x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4.∴y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)恒过定点(3,4)．答案：(3,4)[题后感悟]求指数型函数图象所过的定点，只要令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图象所过的定点．2.函数y＝a2x＋b＋1(a0，且a≠1，b∈R)的图象恒过定点(1,2)，求b的值．解析：∵函数y＝a2x＋b＋1的图象恒过定点(1,2)，∴2×1＋b＝0a0＋1＝2，即b＝－2.求下列函数的定义域:R303xx由，得|3;xx所以，函数的定义域为应用()1xfxa①、212xy②、313xy③、,(0,1)aa解：①②③01,xax由1-a，得0ax即a10ax当时，；010ax当时，1|0axx所以，当时，定义域为；01|0.axx当时，定义域为2、比较下列各题中两个值的大小：分析：（1）（2）利用指数函数的单调性.（3）找中间量是关键.2.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,32.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,32.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3应用∵函数在R上是增函数，而指数2.53．xy7.135.27.17.1（1）应用＜解：∴5.27.137.154.543.532.521.510.5-0.5-2-1123456fx=1.7x应用2.01.08.08.0（2）1.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-1.5-1-0.50.51fx=0.8x∵函数在R上是减函数，而指数-0.1-0.2xy8.0解：∴2.01.08.08.0＜应用3.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.50.511.522.533.54fx=0.9x3.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-2-1.5-1-0.50.511.522.5fx=1.7x1.33.09.07.1（3）解：根据指数函数的性质，得：17.17.103.019.09.001.3,而1.33.09.07.1从而有比较下列各题中两个值的大小：2.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,32.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,32.530.10.21.61.60.33.1130.20.711.7,1.7;20.8,0.8;31.8,2.341.7,0.9;251.5,1.3,3应用[题后感悟]比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．如图是指数函数①y＝ax(a0，且a≠1)，②y＝bx(b0，且b≠1)，③y＝cx(c0，且c≠1)，④y＝dx(d0，且d≠1)的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc解答本题根据指数函数的底数与图象间的关系容易判断.[解题过程]方法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象向下越靠近x轴，故有ba，在③④中底数大于1，在y轴右边，底数越大图象向上越靠近y轴，故有dc.故选B.方法二：设直线x＝1与①、②、③、④的图象分别交于点A，B，C，D，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得cd1ab.故选B.答案：B[题后感悟]指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图象间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．例2：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质变为原来的84%。画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（保留一个有效数字）？解：设这种物质最初的质量是1，经过x年后，剩留量是y。经过1年，剩留量1184%0.84y经过2年，剩留量284%84%0.84y…………一般地，经过x年，剩留量0.84xy根据这个函数关系可以列表如下：x0123456y10.840.710.590.500.420.350.84xy0.5y4x画出指数函数的图象。从图上看出答：约经过4年，剩留量是原来的一半。1.下列函数中一定是指数函数的是（）2.已知则的大小关系是____________________.12.xyA3.xyB.2xCyxyD23.,2.1,8.0,8.08.09.07.0cbacba,,练习Cbac1、指数函数概念；2、指数比较大小的方法；①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。函数y=ax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.课堂小结◆方法指导:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想它的图像；3、指数函数的性质：（1）定义域：值域：（2）函数的特殊值：（3）函数的单调性：4.指数函数的图象和性质a10a1图象xy0y=1y=ax(a1)(0,1)y0(0a1)xy=1y=ax(0,1)a10a1图象特征a10a1性质1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近.1.定义域为R，值域为(0,+).2.图象过定点（0，1）2.当x=0时，y=13.自左向右图象逐渐上升3.自左向右图象逐渐下降3.在R上是增函数3.在R上是减函数4.图象分布在左下