相似三角形提高卷

一、填空题1.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶尖C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__________．MD'EFC'DACB2.如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是【答案】D【解析】连接AD、DG，易证△ADC≌△GDF，从而可证得△ADG∽△CDF，∴∠DFC=∠DGA,∴∠FMG=∠GDF=90°，点M一定在以AC为直径的圆上，∴BM的最小值为等边三角形ABC的高减去圆的半径，即BM的最小值是13.3.如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，23ABBC，DE=6，则EF=．【答案】9．【解析】解：根据平行截割定理，可知23DEABEFBC，而DE=6，∴EF=9．故答案为9．l1l2CBADFE4.如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于点M，交AD的延长线于N，则1AM+1AN=lNMDCBA【答案】1【解析】∵△NDC∽△NAM，∴DCAM=NCNM，即1AM=NCNM又∵△MCB∽△MNA，∴BCAN=MCMN，即1AN=MCMN∴1AM+1AN=NCNM+MCMN=1三、解答题1.如图，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8，AB=6．如图11-2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t=5时，请直接写出点D、点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．yx图11-1BO(D)A(P)Cyx图11-2BCAODP答案：解：(1)D（一4，3），P（一12，8）(2)当点P在边AB上时，BP=6-t2448)6(2121ttADBPS当点P在边BC上时，BP=t-61836)6(2121ttADBPS所以)146(183)60(244ttttS（3）因为D)53,54(tt①当点P在边AB上时，点P)58,854(tt若CBCDOEPE时，8685458tt，解得t=6若CDCBOEPE时，6885458tt，解得t=2060tt=20不合题意，应舍去②当点P在边BC上时，点P)653,5114(tt若CBCDOEPE时，865114653tt，解得t=6若CDCBOEPE时，685114653tt，解得t=13190146tt=13190不合题意，应舍去当t=6时，△PEO与△BCD相似2.已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8(1)如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K①求AKEF的值.②设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值.(2)若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长xyOACBDPPE【答案】（1）32；②23122Sxx，S的最大值为24.（2）245或24049【解析】（1）①//,EFBCAEF∽ABC,又∵AD是ABC的高，AK是AEF的高，∴AKEFADBC,∴12382EFBCAKAD.②∵,EHBEEFAEADBABCBA,两式相加得1EHEFADBC,又∵EH=x，AD=8，BC=12，∴EF=3122x，∴223312(4)2422SEHEFxxx，∵302，∴max24S.（2）分两种情况.①正方形的一边落在BC上时，设其边长为x，由（1）可知8812xx，解得245x；②正方形的一边落在AB或AC上时，设其边长为y,则9.69.610yy，解得24049y.所以正方形PQMN的边长为245或24049.3.如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3(1)求证：EF＋PQ＝BC(2)若S1＋S3＝S2，求AEPE的值(3)若S3－S1＝S2，直接写出AEPE的值【答案】（1）////,,EFAFPQAQEFPQBCBCACBCAC;又∵AE＝BP，∴EFPQAFAQCQAQACBCBCACACACAC=1∴EF＋PQ＝BC.（2）2PEAE（3）2.【解析】（1）由三条平行线得到两组成比例线段，再相加化简即可证得.（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，分别交EF、PQ于M、N设EF=a，PQ=b，AM=h，则BC=a+bPQEFANAM∵bANha，habMN)1(则ahS211，habbaS)1)((212，hbabS)(213231SSS∵habbahbabah)1)((21)(2121则ab3，2AEPE（3）∵S3－S1＝S2，∴S3＝S1+S2，12APQABCSS,又∵2()APQABCSAPSAB，，∴22APAB,又∵AE=BP，∴AEPE=22222222222.4.如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为.（1）问题发现①当=0°时，AEBD=；②当=180°时，AEBD=.（2）拓展研究试判断：当0≤360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长.图3图2图1DEEDBAABABCCC【答案】解：（1）①52；②52（2）无变化在图1中，∵DE是△ABC的中线，∴DE∥AB，∴CECDCACB,∠EDC=∠B=90°如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴CECDCACB仍然成立.又∵∠ACE=∠BCD=，∴△CEA∽△CDB，∴AEBD=ACBC，在Rt△ABC中，22224845ACABBC,∴ACBC=455=82∵∠ECA=∠DCB,ACECBCCD=52，∴AEBD=52，∴AEBD的大小不变.(3)12545.5或提示：当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴BD=AC=45，当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD=8，∴AE=6，根据AEBD=52可求得BD=1255，5.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．（1）当F为BE中点时，求证：AM＝CE；（2）若ABBC＝EFBF＝2，求ANND的值；ABCDEFMN（3）若ABBC＝EFBF＝n，当n为何值时，MN∥BE？【答案】解：（1）∵F为BE的中点，∴BF＝EF．∵AB∥CD，∴∠MBF＝∠CEF，∠BMF＝∠ECF．∴△BMF≌△ECF．∴MB＝CE．∵AB＝CD，CE＝DE，∴MB＝AM．（2）设MB＝a．∵AB∥CD，∴△BMF∽△ECF．∵EFBF＝2，∴CEMB＝2．∴CE＝2a．∴AB＝CD＝2CE＝4a，AM＝AB－MB＝3a．∵ABBC＝2，∴BC＝AD＝2a．∵MN⊥MC，∠A＝∠ABC＝90°，∴△AMN∽△BCM．∴ANMB＝AMBC，即ANa＝23aa．∴AN＝32a，ND＝322aa＝12a．∴ANND＝32a︰12a＝3．（3）方法一：∵ABBC＝EFBF＝n，设MB＝a，由（2）可得BC＝2a，CE＝na，AM＝(21)na．由△AMN∽△BCM，AN＝1(21)2na，DN＝(25)2na．∵DH∥AM，DNAN＝DHAM，DH＝(25)na，∴HE＝(5)na．∵MBEH是平行四边形，∴(5)na＝a．ABCDEFHMN∴n＝4．方法二：∵ABBC＝EFBF＝n，设MB＝a，由（2）可得BC＝2a，CE＝na．当MN∥BE时，CM⊥BE，可证△MBC∽△BCE．∴MBBC＝BCCE．∴2aa＝2ana．∴n＝4．