考点28-菱形、矩形和正方形

第25课时菱形、矩形和正方形1（2008年•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当ABBC时，它是菱形B．当ACBD时，它是菱形C．当90ABC时，它是矩形D．当ACBD时，它是正方形【解析】要熟记在平行四边形的基础上如何判定是菱形、矩形和正方形的方法【标准解答】D2（2008年•湖北荆门）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4,若用x，y表示矩形的长和宽(x＞y)，则下列关系式中不正确的是()(A)x+y=12．(B)x－y=2．(C)xy=35．(D)x2＋y2=144．【解析】对同一各大正方形的面积用不同的代数式来表示，化简后即可得出x+y=12，x－y=2，xy=35都是正确的。【标准解答】D3(2008年•广安)如图菱形ABCD中，∠BAD=60º，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为．【解析】应联想到两点之间线段最短、对称点、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的有关知识，找到点M的对称点'M,点'M在AD上，连结B'M,点'M是AD的中点，又△ABD是等边三角形，得到B'M⊥AD，在根据三角函数求得AB=32yxPBCADMDCBA【标准解答】324（2008年•凉山州）如图，点EF，分别是菱形ABCD中BCCD，边上的点（EF，不与BCD，，重合）在不连辅助线的情况下请添加一个条件，说明AEAF．【解析】只要添加的条件能证ABE△和ADF△全等即可。【标准解答】（1）添加条件：BEDF或BAEDAF或BAFDAE等（2）证明：四边形ABCD是菱形ABADBD在ABE△和ADF△中ABADBDBEDFABEADF△≌△AEAF5（2008年•无锡）如图，四边形ABCD中，ABCD∥，AC平分BAD，CEAD∥交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断ABC△的形状，并说明理由．【解析】（1）先证四边形AECD是平行四边形，在由AC平分BAD得到四边形AECD是菱形。（2）由点E是AB的中点可证得ABC△是直角三角形．【标准解答】（1）ABCD∥，即AECD∥，又CEAD∥，四边形AECD是平行四边形．AC平分BAD，CAECAD，又ADCE∥，ACECAD，ACECAE，AECE，AFDCBAFDCBE四边形AECD是菱形．（2）证法一：E是AB中点，AEBE．又AECE，BECE，BBCE，180BBCABAC，22180BCEACE，90BCEACE．即90ACB，ABC△是直角三角形．证法二：连DE，则DEAC，且平分AC，设DE交AC于F．E是AB的中点，EFBC∥．BCAC，ABC△是直角三角形．6（2008年•湖北咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【解析】(1)由角平分线定义和平行线性质得到角相等，由角相等得到边OE=OC,OF=OC,即OE=OC.(2)等点O是AC的中点时，由对角线互相平分得四边形AECF是平行四边形。在结合两条角平分线得到90ECF，于是可得四边形AECF是矩形【标准解答】（1）证明：∵CE平分BAC，∴12，又∵MN∥BC，∴13，∴32，∴EOCO．同理，FOCO．∴EOFO．2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.∵EOFO，点O是AC的中点．∴四边形AECF是平行四边形.又∵12，45．∴124180902，即90ECF．∴四边形AECF是矩形．7（2008年•乌鲁木齐）在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与AD，不重合），GFH，，分别是BEBCCE，，的中点．（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）在（1）的条件下，若EFBC，且12EFBC，证明平行四边形EGFH是正方形．ABCEFMNO(第19题图）ABCEFMNO(第19题图）12345【解析】根据三角形中位线定理可得四边形EGFH是平行四边形，再由GH∥BC,GH=21BC,EF⊥BC,得到平行四边形EGFH是正方形。【标准解答】证明：（1）在BEC△中，GF，分别是BEBC，的中点GFEC∥且12GFEC又H是EC的中点，12EHEC，GFEH∥且GFEH四边形EGFH是平行四边形（2）证明：GH，分别是BEEC，的中点GHBC∥且12GHBC又EFBC，且12EFBC，EFGH，且EFGH平行四边形EGFH是正方形．8（2008年•上海）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线ACBD，交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE△是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若2AEDEAD，求证：四边形ABCD是正方形．【解析】（1）利用等边三角形三线合一得DBAC，对角线互相垂直的平四边形是菱形。（2）由等边三角形得∠AEC=060,2AEDEAD,得∠EAD=015，于是45ADOEADAED,290ADCADO,从而四边形ABCD是正方形．【标准解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，AOCO．BGAEFHDCECDBAOBGAEFHDC又ACE△是等边三角形，EOAC，即DBAC．平行四边形ABCD是菱形；）（2）ACE△是等边三角形，60AECEOAC，1302AEOAEC．2AEDEAD，15EAD．45ADOEADAED．四边形ABCD是菱形，290ADCADO．四边形ABCD是正方形．9（2008年•青岛）已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CECG，连接BG并延长交DE于F．（1）求证：BCGDCE△≌△；（2）将DCE△绕点D顺时针旋转90得到DAE△，判断四边形EBGD是什么特殊四边形？并说明理由．【解析】（1）根据正方形的性质及CE=CG可得△BCG≌△DCE。（2）由旋转不变性知CE=AE′，于是得BE′=DG，四边形DE′BG是平行四边形。【标准解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE，∴△BCG≌△DCE．（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90得到△DAE′，∴CE=AE′．∵CE=CG，∴CG=AE′．∵四边形ABCD是正方形，∴BE′∥DG，AB=CD．∴AB－AE′=CD－CG，即BE′=DG．∴四边形DE′BG是平行四边形．10（2008年•聊城）如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与ABCD，的延长线分别交于EF，．（1）求证：BOEDOF△≌△；ABCDEFEGECDBAOABCDEFEG（2）当EF与AC满足什么关系时，以AECF，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．【解析】（1）由矩形对角线互相平分及平行线的内错角相等得到△BOE≌△DOF.(2)当EFAC时，四边形AECF是菱形,可先证四边形AECF是平行四边形再推出是菱形。【标准解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，OBODAECF∥EF，OBEODF．BOEDOF△≌△（2）当EFAC时，四边形AECF是菱形．证明：四边形ABCD是矩形，OAOC．又由（1）BOEDOF△≌△得，OEOF，四边形AECF是平行四边形又EFAC，四边形AECF是菱形11（2008年•泰州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3。（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F。①求证：点B平分线段AF；②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由。FDOCBEAFDOCBEAFDOCBEAPDCBAEFPCBAD【解析】（1）当直角三角形的两直角边分别为1、3时，一定由一个角为600，由此得EB平分∠AEC。（2）①由CE∥BF得BFCE=BPCP=21进而得BF=2CE，AB=BF。②在Rt△ADE中，AE=2213=2，可得AE=BF，再由PB=332得PB=PE于是可得△PAS≌△PFB。即可说明△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。旋转度数为1200且是、【标准解答】（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC。由∠D=900，DE=1，AD=3，推得DEA=600，同理，∠CEB=600，从而∠AEB=∠CEB=600，即EB平分∠AEC。、（2）①∵CE∥BF，∴BFCE=BPCP=21∴BF=2CE。∵AB=2CE，∴点B平分线段AF、②能。证明：∵CP=313，CE=1，∠C=900，∴EP=323。在Rt△ADE中，AE=2213=2，∴AE=BF，又∵PB=332，∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=900，∴△PAS≌△PFB。∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。旋转度数为1200且是、1（2008年•江西省）如图1，正方形ABCD和正三角形EFG的边长都为1，点EF，分别在线段ABAD，上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记HEF为（当点EF，分别与BA，重合时，记0）．（1）当0时（如图2所示），求xy，的值（结果保留根号）；（2）当为何值时，点G落在对角形AC上？请说出你的理由，并求出此时xy，的值（结果保留根号）；（3）请你补充完成下表（精确到0.01）：0153045607590x0.0300.29y0.290.130.03（4）若将“点EF，分别在线段ABAD，上滑动”改为“点EF，分别在正方形ABCD边上滑动”．当滑动一周时，请使用（3）的结果，在图4中描出部分点后，勾画出点G运动所形成的大致图形．（参考数据：626231.732sin150.259sin750.96644≈，≈，≈．）【解析】【标准解答】解：（1）过G作MNAB于M交CD于N，GKBC于K．60ABG，1BG，32MG，12BM．312x，12y．（2）当45时，点G在对角线AC上，其理由是：过G作IQBC∥交ABCD，于IQ，，过G作JPAB∥交ADBC，于JP，．AC平分BCD，GPGQ，GIGJ．GEGF，RtRtGEIGFJ△≌△，GEIGFJ．60GEFGFE，AEFAFE．90EAF，45AEFAFE．即45时，点G落在对角线AC上．AHFDGCBE图1图2B(E)A(F)DCGHADCB图3HHDACB图4B(E)A(F)DCGKMNHADCHEIQGFJ（以下给出两种求xy，的解法）方法一：4560105AEG，75GEI．在RtGEI△中，62sin754GIGE，6214GQIQGI．6214xy．方法二：当点G在对角线AC上时，有132222x，解得6214x6214xy．（3）0153045607590x0.130.0300.030.130.290.50y0.500.290.130.0300.030.13（4）由点G所得到的大致图形如图所示：2（2008年•无锡）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30k