初高中数学衔接知识(二次函数)

2020年8月22日星期六初高中知识衔接模块三2020年8月22日星期六教学目标：1.理解二次函数的概念，能快速画出二次函数简图。2.进一步掌握二次函数的性质。3.会用待定系数法求二次函数解析式。4.掌握二次函数与一元二次方程的关系。教学重难点：重点：二次函数的图像和性质。难点：给定区间内求二次函数的最值。教学手段：五环教学法2020年8月22日星期六二次函数是初中函数的主要内容.也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道二次函数在自变量取任意实数时的最值情况.本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量在某个范围内取值时，函数的最值问题.2(0)yaxbxcax第一课时2020年8月22日星期六课堂互动探究1.二次函数的图像和性质2(0)yaxbxca（1）当0a时，函数2yaxbxc图象开口向上，顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线2bxa.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当2bxa时，函数取最小值244acbya．利用数形结合的思想方法解决问题．今后解决二次函数问题时，要善于借助函数图像（2）当0a时，函数2yaxbxc图象开口向下，顶点坐标为2424(,)bacbaa，对称轴为直线2bxa.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小；当2bxa时，函数取最大值244acbya．2020年8月22日星期六【例1】请您求出二次函数2361yxx的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小），并画出该函数的图象．解：∵22361314()yxxx.∴函数图象的开口向下，对称轴方程1x，顶点坐标为(－1，4)，当1x时，4maxy.在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小(如图).2020年8月22日星期六1．一般式：2(0)yaxbxca.2．顶点式：)0()(2akhxay，顶点坐标是),(kh．3．交点式：12()()(0)yaxxxxa，其中1x，2x是二次函数图象与x轴交点的横坐标．【例2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【例3】已知二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线1yx上，并且图象经过点（3，－1），求此二次函数的解析式．课堂互动探究2、二次函数的三种表示方式2020年8月22日星期六【例4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．解：法一∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为(3)(1)(0)yaxxa，即223yaxaxa.顶点的纵坐标为2212444aaaa，∵二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，∴1|4|22aa．∴二次函数的表达式为21322yxx或21322yxx．解：法二∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线1x．又顶点到x轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2或－2．∴可设二次函数为2(1)2yax或2(1)2yax.∵函数图象过点(1，0)，∴12a．∴二次函数的表达式为21322yxx或21322yxx．说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？2020年8月22日星期六课堂小结二次函数有哪些性质？二次函数有哪些表示方法？作业：1．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．2.先学作业（第二课时导学案）2020年8月22日星期六第二课时2020年8月22日星期六课堂互动探究1、二次函数的最值问题【例5】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x时，min4y，当2x时，max5y．【例6】当12x时，求函数21yxx的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x时，max1y，当2x时，min5y．2020年8月22日星期六由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：2020年8月22日星期六课堂互动探究2、二次函数的一元二次方程的关系问题1（2）下列二次函数的图象与x轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？y=x2-x+1y=x2+x-2y=x2-6x+9y654321-1-2-3-2-1123456xO2020年8月22日星期六问题2当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？y=x2-x+1y=x2+x-2y=x2-6x+9y654321-1-2-3-2-1123456xO2020年8月22日星期六问题3由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？x2+x-2=0x2-6x+9=0x2-x+1=0y=x2-x+1y=x2+x-2y=x2-6x+9y654321-1-2-3-2-1123456xO2020年8月22日星期六二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0有什么关系？归纳一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根．（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根（Δ=b2－4ac0），有两个相等的实数根（Δ=b2－4ac=0），有两个不等的实数根（Δ=b2－4ac＞0）．2020年8月22日星期六练习1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。（1）y=6x2-2x+1（2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+42020年8月22日星期六练习3、已知抛物线y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.求证:不任m为何实数,抛物线与x轴都有两个不同的交点,2020年8月22日星期六课堂小结1.如何确定二次函数的最值？2.二次函数与一元二次方程有何关系？作业：1.已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。（2）若抛物线与直线y=x+2m只有一个交点，求m的值。2.先学作业（第三课时导学案）