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一元二次方程常见解法探析摘要一元二次方程作为初中数学的重要内容之一，其在初中代数中的地位不言而喻。在一元二次方程的学习过程中，关键在于其基本解法。本文着重研究了一元二次方程的多种常见解法，并在此基础上分析各解法的特点及具体适用性，力求帮助学生更有效率的解答一元二次方程。关键词一元二次方程解法探析一、一元二次方程解法教学的重要性一元二次方程是初中数学的重要内容，其在数学和实际生活中的运用不胜枚举，且在中考中占据大量分值。随着数学学习内容的不断深入，一元二次方程更多的是以解题工具的形式出现，如在应用题、取值题等题型中的运用。因此，一元二次方程的解往往成为判定解题准确与否关键。由此可见，既快又准的解一元二次方程在数学学习中至关重要。鉴于此，本文就一元二次方程的几种常见解法进行分析，力图建立特定的解方程思维模式，以帮助学生提高解决此类题之效率。二、一元二次方程解法分析一元二次方程的重点与关键在于其解法。常用的解法主要有：因式分解法、配方法、直接开方法和公式法。为更直观展现解法特点，本文选取本分题型加以归类分析：（一）直接开方法适用此法的方程多以x2=p或（ax+b）2=p的形式出现。观察此类方程特征发现，其中一次项系数为0。例7.解方程x2=225例8.（x+3）2=9直接开方得x1=15，x2=-15直接开方得x+3=±3x1=0，x2=-6该方法较为简单，仅能决部分一元二次方程。且在考试中多出现在解题的某一环节中，而较少单独作为大题来命题。（二）因式分解法因式分解法是运用分解因式的方法求一元二次方程的根。其特点在于分解后的因式中至少一个为零。具体原则：（1）将方程式右边化为0，且始终为0；（2）将等式左边尽可能化简成为两个因式的成绩；（3）令各因式结果为0；（4）解化简后的多个因式。因式分解法具体包括：提公因式法、公式法、十字相乘法。1.提公因式法。特有模式：ax2+bx=0（其中a，b为系数），此方法的特点在于等式右边值为0，等式左边存在公因式。例1.解方程5x2+15x=0例2.解方程（2x+3（2=4x+6因式分解得：5x（x+3）=0移项得（2x+3）2-2（2x+3）=0x1=0，x2=-3因式分解得（2x+3）（2x+3-2）=0x1=-3/2，x2=-1/2例1是提取公因式法较为直接的使用。但在考试中，例2更为常见。通过例2可知，在使用提取公因式法时，不能仅限于观察未知项，需从整体进行分析。2.公式法。直接利用常见公式解方程求根的方法。在此法中较为常见的公式有平方差公式和完全平方公式。具体表现形式如下：（1）平方差：（a2-b2）=（a+b）（a-b）；（2）完全平方：（a±b）2=a2±2ab+b2。此方法特点在于已知方程与上述公式形式一致。例3.解方程4x2-9=0例4.解方程9x2+6x+1=0因式分解得（2x-3）（2x+3）=0因式分解得（3x+1）2=0x1=-3/2，x2=3/2x=-1/3公式法的使用可以大幅提高解题速度，但其关键在于必须熟记平方差和完全平方公式。3、十字相乘法。十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。特有模式：x2+（a+b）x+ab=0。通常在方程既有常数项，又无上述公式可使用时，惯用此法。该法可以快速的解出跟，提高学生自信心。例5.解方程3x2+11x+10=0例6.解方程3x2-x-10=0分析：x2分析：x-23x53x56x+5x=11x-6x+5x=-x因式分解得（x+2）（3x+5）=0因式分解得（x-2）（3x+5）=0x1=-2，x2=-5/3x1=2，x2=-5/3使用十字相乘法的关键在于两点：（1）在运算过程中，务必注意系数项的符号；（2）当首项系数不为1时，需多次试验。通过上述分析可知，使用因式分解法有一定的局限性，仅限于解部分有特定关系的一元二次方程。（三）配方法配方法是将已知方程配成完全平方公式，而此法是解一元二次方程的通法。究其根本即是将一元二次方程化为x2=p来加以解答。例9.x2+10x+9=0例10.2x2+3x+1=0移项得x2+10x=-9化首项系数为1得x2+3x/2+1/2=0配方得x2+10x+25=-9+25配方得x2+3x/2+9/16=-1/2+9/16即（x+5）2+16即（x+3/4）2=1/16直接开方得x+5=±4直接开方得x+3/4=±1/4即x1=-1，x2=-9即x1=-1/2，x2=-1通过例题9和例题10对比发现，虽配方法可解任何一元二次方程，但当已知方程二次项系数为1，一次项系数为偶数时，该方法的使用可大幅减少计算量。而当二次项系数不为1，或一次项系数不为偶数时，使用该方法计算量将增大。如在做题过程中遇到二次项系数不为1时，首先需将其系数转化为1，然后再用配方法计算。总结配方法口诀：“二次系数化为一，常数要往右边移，一次系数一半方，两边加减最相当（四）公式法此公式法与分解因式法中提及的公式法略有差异。该公式法是用求根公式求出一元二次方程的跟的方法。其可解任何ax2+bx+c=0（a≠0）的方程。其步骤有：（1）将已知方程化为一元二次方程的一般形式；（2）分别确定a、b、c的值；（3）求出b2-4ac的值；（4）当b2-4ac≥0时，将其带入原方程式，求出两根；当b2-4ac0x1=-2/3，x2=12、当ax2+bx+c=0（a≠0）的各项系数均为无理数，且较难使用因式分解法和配方法时，可使用该法。例12.解方程x2-5x+4=0例13.解方程x2-x+4=0确定各项系数：a=1，b=-5，c=4确定各项系数：a=1，b=-1，c=4δ=b2-4ac=25-4×1×4=90δ=b2-4ac=1-4×1×4=-150时，一元二次方程有两个不同的根；②当b2-4ac=0时，一元二次方程的两根相等；③当b2-4ac0时，一元二次方程无解。此方法较配方法具有更广阔的适用性，其在使用过程中省略了配方的过程，且有效弥补了在使用配方法解决二次项系数不为1时所存在的不足。三、总结综上所述，在解一元二次方程时，要善于观察已知方程的特点。同一方程有时可使用两种或两种以上不同方法解答。因而在方法选择上，要遵循由易到难的顺序。即在遇到解一元二次方程题型时，首先观察该题是否可采用直接开方法解答，如若不行则依次考虑提取公因式法、配方法、公式法。总之解法之选必为最简单、快捷、准确之道。参考文献：[1]唐宗康.一元二次方程几种常见解法的选择之我见[j].教育研究.2010（2）[2]孙致义.对中学数学教学的几点思考[j].科技资讯.2007（02）[3]吕超，刘永刚.开展生命化课堂教学，培育发展型教学文化[j].学周刊.2012（2）[4]赵庆福.中学数学解题反思的案例分析[d].2012[5]刘彩虹.中学数学课堂评价标准研究[d].2012（6）[6]张军.浅论如何教好中学数学[j].中国校外教育.2012（6）