直线与方程专题复习

专题复习直线与方程【基础知识回忆】1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x轴相交;ⅱ.x轴正向;ⅲ.直线向上方向.②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为③倾斜角的范围.（2）直线的斜率①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是②经过两点))(,(),,(21222111xxyxPyxP两点的斜率公式为：k③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。倾斜角为的直线斜率不存在。2.两直线垂直与平行的判定（1）对于不重合的两条直线21,ll，其斜率分别为21,kk，，则有：21//ll；21ll.（2）当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线；当一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两条直线.3.直线方程的几种形式名称方程形式适用条件点斜式不表示的直线斜截式不表示的直线两点式不表示的直线截距式不表示和的直线一般式)0(022BAcByAx注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式.4.三个距离公式（1）两点),(),,(222111yxPyxP之间的距离公式是：||21PP.（2）点),(00yxP到直线0:cByAxl的距离公式是：d.（3）两条平行线0:,0:21cByAxlcByAxl间的距离公式是：d.【典型例题】题型一：直线的倾斜角与斜率问题例1、已知坐标平面内三点)13,2(),1,1(),1,1(CBA.（1）求直线ACBCAB、、的斜率和倾斜角.（2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围.例2、图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则：A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2例3、利用斜率证明三点共线的方法：若Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２），Ｃ（0，ｍ）三点共线，则ｍ的值为.总结：已知112233(,),(,),(,),AxyBxyCxy若123ABACxxxkk或，则有A、B、C三点共线。例4、直线l方程为02)1(ayxa，直线l不过第二象限，求a的取值范围。变式：若0AC，且0BC，则直线0CByAx一定不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二：直线的平行与垂直问题例1、已知直线l的方程为01243yx，求下列直线l的方程,l满足（1）过点)3,1(，且与l平行；（2）过)3,1(，且与l垂直.本题小结：平行直线系：与直线0CByAx平行的直线方程可设为01CByAx垂直直线系：与直线0CByAx垂直的直线方程可设为02CAyBx变式：（1）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程（2）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程例2、1l：0)1(mymx，2l：02mmyx，①若1l∥2l，求m的值；②若1l⊥2l，求m的值。变式：（1）已知过点(2,)Am和(,4)Bm的直线与直线012yx平行，则m的值为（）A.0B.8C.2D.10（2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=（）A．-3B．-6C．23D．32（3）若直线1:10lmxy与2:250lxy垂直，则m的值是．题型三：直线方程的求法例1、求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。例2、已知ABC三个顶点是)4,1(A，)1,2(B，)3,2(C．(1)求BC边中线AD所在直线方程；(2)求AC边上的垂直平分线的直线方程（3）求点Ａ到ＢＣ边的距离．变式：1．倾斜角为45，在y轴上的截距为1的直线方程是（）A．1yxB．1yxC．1yxD．1yx2．求经过A（2，1），B（0，2）的直线方程3.直线方程为02)1(ayxa，直线l在两轴上的截距相等，求a的方程；4、过P（1，2）的直线l在两轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程5、已知直线l经过点(5,4)P，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．题型四：直线的交点、距离问题例1：点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）A．2B．21C．1D．27例2：已知点P（2，-1）。（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。例3：已知直线1:260laxy和直线22:(1)10lxaya，（1）试判断1l与2l是否平行，如果平行就求出它们间的距离；（2）1l⊥2l时，求a的值。变式：求两直线:3x-4y+1=0与6x-8y-5=0间的距离。题型五：直线方程的应用例1、已知直线0355:ayaxl.（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围.例2、直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是（）A．（-2，1）B．（2，1）C．（1，-2）D．（1，2）圆与方程1.圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.点与圆的位置关系：(1).设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a.点在圆内d＜r；b.点在圆上d=r；c.点在圆外d＞r(2).给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.①M在圆C内22020)()(rbyax②M在圆C上22020)()rbyax（③M在圆C外22020)()(rbyax（3）涉及最值：①圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr②圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）3.圆的一般方程：022FEyDxyx.(1)当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.(2)当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.(3)当0422FED时，方程不表示任何图形.注：方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.4.直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax圆心到直线的距离22BACBbAad1）无交点直线与圆相离rd；2）只有一个交点直线与圆相切rd；3）有两个交点直线与圆相交rd；弦长|AB|=222drdrd=rrd还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022FEyDxyxCByAx求解，通过解的个数来判断：（1）当0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；（2）当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；（3）当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1）设两圆2121211)()(:rbyaxC与圆2222222)()(:rbyaxC，圆心距221221)()(bbaad①条公切线外离421rrd；②条公切线外切321rrd；③条公切线相交22121rrdrr；④条公切线内切121rrd；⑤无公切线内含210rrd；外离外切相交内切（2）两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.补充说明：①若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；②若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.（3）圆系问题过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）补充：①上述圆系不包括2C；②2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为220xyDxEyFAxByC6.过一点作圆的切线的方程：(1)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即1)()(2110101RxakybRxxkyy求解k，得到切线方程【一定两解】例1.经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为。(2)过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)=r2特别地，过圆222ryx上一点),(00yxP的切线方程为200ryyxx.例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线，则切线方程为。7．切点弦(1)过⊙C：222)()(rbyax外一点),(00yxP作⊙C的两条切线，切点分别为BA、，则切点弦AB所在直线方程为：200))(())((rbybyaxax8.切线长：若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为d=22020b)(+)(ryax．9.圆心的三个重要几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在某一条弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例.已知圆C1：x2+y2—2x=0和圆C2：x2+y2+4y=0，试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。【检测反馈】1.若直线过点),32,4(),2,1(则此直线的倾斜角是（）.（A）030（B）045（C）060（D）0902.过点)1,1(E和)0,1(F的直线与过点)0,2(kM和点)4,0(kN直线的位置关系是（）（A）平行（B）重合（C）平行或重合（D）相交或重合3.过点)3,1(且垂直于直线032yx的直线方程为（）.(A)012yx(B)052yx(C)052yx(D)072yx4.已知点),1,3(),2,1(BA则到BA,两点距离相等的点的坐标满足的条件是（）.（A）524yx（B）524yx（C）52yx（D）52yx5.直线),0,0(0:,0:21babaaybxlbyaxl在同一直角坐标系中的图形大致是（）.6.直线l被两直线0653:,064:21yxlyxl截得线段的中点是原点O，则直线l的方程为.7.已知,0a若平面内三点),3(),,2(),,1(32aCaBaA共线，则a=.8.过点),4,1(A且纵、横截距的绝对值相等的直线共有（）.（A）1条(B)2条(C)3条(D)4条9.已知直线l过点)1,1(P，且被平行直线01343yx与0743yx截得的线段长为24，求直线l的方程.AOOxy1l2l2l1lxyBOxy1l2lCyxO2l1lD