新人教A版数学选修1-1《3.1.1变化率问题》导学案

河北省唐山市开滦第二中学高中数学3.1.1变化率问题学案新人教A版选修1-1【学习目标】1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.【重点难点】平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.【学习内容】一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析：(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系105.69.4)(2ttth.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:5.00t和21t的平均速度v探究:计算运动员在49650t这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示,称为函数)(xf从1x到2x的平均变化率.2.若设12xxx,)()(12xfxff(这里x看作是对于1x的一个“增量”可用xx1代替2x,同样)()(12xfxfyf)则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212思考:观察函数)(xf的图象平均变化率xf1212)()(xxxfxf表示什么?三、典例分析例1已知函数xxxf2)(的图象上的一点)2,1(A及临近一点)2,1(yxB则xy.解:hto例2求2xy在0xx附近的平均变化率.解:四、课堂练习1.质点运动规律为32ts,则在时间)3,3(t中相应的平均速度为.2.物体按照43)(2ttts的规律作直线运动,求在s4附近的平均变化率.3.过曲线3)(xxfy上两点)1,1(P和)1,1(yxQ作曲线的割线,求出当1.0x时割线的斜率.五．【课堂小结与反思】【课后作业与练习】1．设函数xfy，当自变量x由0x改变到xx0时，函数的改变量y为（）Axxf0Bxxf0Cxxf0D00xfxxf2．一质点运动的方程为221ts，则在一段时间2,1内的平均速度为（）A－4B－8C6D－63．将半径为R的球加热，若球的半径增加R，则球的表面积增加S等于（）ARR8B248RRRC244RRRD24R4．在曲线12xy的图象上取一点（1,2）及附近一点yx2,1，则xy为（）A21xxB21xxC2xDxx125．在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h（单位：m）与起跳后时间t（单位：s）的函数关系是105.69.42ttth，则下列说法不正确的是（）A在10t这段时间里，平均速度是sm/6.1B在49650t这段时间里，平均速度是sm/0C运动员在4965,0时间段内，上升的速度越来越慢D运动员在2,1内的平均速度比在3,2的平均速度小6．函数xfy的平均变化率的物理意义是指把xfy看成物体运动方程时，在区间21,tt内的7．函数xfy的平均变化率的几何意义是指函数xfy图象上两点111,xfxP、222,xfxP连线的8．函数8232xxy在31x处有增量5.0x，则xf在1x到xx1上的平均变化率是9．正弦函数xysin在区间6,0和2,3的平均变化率哪一个较大？