聚焦直线系、圆系方程的应用

聚焦直线系、圆系方程的应用【直线系方程的应用】一、过定点直线系方程在解题中的应用过定点（0x，0y）的直线系方程：00()()0AxxByy（A,B不同时为0）.例1求过点(14)P，圆22(2)(3)1xy的切线的方程．分析：本题是过定点直线方程问题，可用定点直线系法.解析：设所求直线的方程为(1)(4)0AxBy（其中AB，不全为零），则整理有40AxByAB，∵直线l与圆相切，∴圆心(23)C，到直线l的距离等于半径1，故222341ABABAB，整理，得(43)0AAB，即0A（这时0B），或304AB．故所求直线l的方程为4y或34130xy．点评：对求过定点（0x，0y）的直线方程问题，常用过定点直线法，即设直线方程为:00()()0AxxByy，注意的此方程表示的是过点00()Pxy，的所有直线（即直线系），应用这种直线方程可以不受直线的斜率、截距等因素的限制，在实际解答问题时可以避免分类讨论，有效地防止解题出现漏解或错解的现象．练习：过点(14)P，作圆22(2)(3)1xy的切线l，求切线l的方程．解：设所求直线l的方程为(1)(4)0AxBy（其中AB，不全为零），则整理有40AxByAB，∵直线l与圆相切，∴圆心(23)C，到直线l的距离等于半径1，故222341ABABAB，整理，得(43)0AAB，即0A（这时0B），或304AB．故所求直线l的方程为4y或34130xy．二、过两直线交点的直线系方程在解题中的应用过直线l：1110AxByC（11,AB不同时为0）与m：2220AxByC（22,AB不同时为0）交点的直线系方程为：111222()0AxByCAxByC（R，为参数）.例2求过直线：210xy与直线：210xy的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.分析：本题是过两直线交点的直线系问题，可用过交点直线系求解.解析：设所求直线方程为：21(21)0xyxy，当直线过原点时，则1=0，则=－1，此时所求直线方程为：20xy；当所求直线不过原点时，令x=0，解得y=12，令y=0，解得x=121，由题意得，12=121，解得13，此时，所求直线方程为：5540xy.综上所述，所求直线方程为：20xy或5540xy.三、求直线系方程过定点问题例3证明：直线10mxym(m是参数且m∈R)过定点，并求出定点坐标.分析：本题是证明直线系过定点问题，可用恒等式法和特殊直线法.解析：（恒等式法）直线方程化为:(1)10xmy,∵m∈R,∴1010xy，解得，1x，1y，∴直线10mxym(m是参数且m∈R)过定点（1,1）.（特殊直线法）取m=0，m=1得，1y，20xy，联立解得，1x，1y，将（1,1）代入10mxym检验满足方程，∴直线10mxym(m是参数且m∈R)过定点（1,1）.点评：对证明直线系过定点问题，常用方法有恒等式法和特殊直线法，恒等式法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数属于R，则恒等式个系数为0，列出关于,xy的方程组，通过解方程组，求出定点坐标;特殊直线法，去两个特殊参数值，得到两条特殊直线，通过接着两条特殊直线的交点坐标，并代入原直线系方程检验，即得定点.【圆系方程的应用】常见的圆系方程有如下几种：1、以(,)ab为圆心的同心圆系方程：222()()(0)xayb与圆22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：22yx＋Dx＋Ey＋＝０2、过直线Ax＋By＋Ｃ＝０与圆22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：22yx＋Dx＋Ey＋Ｆ＋（Ax＋By＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、过两圆1C:22yx＋111FyExD＝0，2C:22yx＋222FyExD＝０交点的圆系方程为：22yx＋111FyExD＋（22yx＋222FyExD）＝0（≠-１，此圆系不含2C:22yx＋222FyExD＝０）特别地，当＝－１时，上述方程为根轴方程．两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程．注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆2C，可等价转化为过圆1C和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程:22111121212[()()()]0xyDxEyFDDxEEyFF一、利用圆系方程求圆的方程：例１、求经过两圆22yx＋3x－y－2＝０和2233yx＋2x＋y＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程．解：方法3：由题可设所求圆的方程为：（22yx＋3x－y－2）＋（2233yx＋2x＋y＋１）＝０∵（0，0）在所求的圆上，∴有－2＋＝０．从而＝２故所求的圆的方程为：0)1233(2)23(2222yxyxyxyx即2277yx＋7x＋y＝０。练习：求经过两圆x2+y2+6x4=0和x2+y2+6y28=0的交点,并且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.1解:构造方程x2+y2+6x4+λ(x2+y2+6y28)=0即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy(4+28λ)=0此方程的曲线是过已知两圆交点的圆,且圆心为)13,13(当该圆心在直线xy4=0上时,即.7,041313得∴所求圆方程为x2+y2x+7y32=0.)0,2(),3,1(02024:22的圆的方程且过切于求与圆练习BAyxyx.02018477,78)0,2(0)1543(202401543)3,1(2222yxyxyxyxyxyxA所以所求圆方程为得代入，。与已知圆构造圆系的圆的切线为解：过二、利用圆系方程求最小面积的圆的方程：例2（1）：求过两圆225xy和22(1)(1)16xy的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆225xy和22(1)(1)16xy的公共弦方程为22110xy过直线22110xy与圆225xy的交点的圆系方程为2225(2211)0xyxy，即2222(1125)0xyxy依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心(,)必在公共弦所在直线22110xy上。即22110，则114代回圆系方程得所求圆方程22111179()()448xy例２（2）;求经过直线l：2x＋y＋4＝０与圆Ｃ：22yx＋2x－4y＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．解：设圆的方程为：22yx＋2x－4y＋1＋（2x＋y＋4）＝０即22yx＋yx)4()1(2＋（1＋4）＝０则54)58(45)41(4)4()1(4412222r，当＝58时，2r最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：2255yx＋26x－12y＋37＝０练习：1．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+7=0的两个交点且过原点的圆的方程。（常数项为零）2．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且圆心在x轴上的圆的方程。（圆心的纵坐标为零）3．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且面积最小的圆方程。（半径最小或圆心在直线上）4．求经过圆x2+y2+8x-6y+21=0与直线x-y+5=0的两个交点且与x轴相切的圆的方程；并求出切点坐标。（圆心到x轴的距离等于半径）三、利用圆系方程求参数的值：例3：已知圆2260xyxym与直线230xy相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数m的值。分析：此题最易想到设出1122(,),(,)PxyQxy，由OPOQ得到12120xxyy，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于m的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系OPOQ，不难得出O在以PQ为直径的圆上。而P，Q刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线230xy与圆2260xyxym的交点的圆系方程为：226(23)0xyxymxy，即22(1)2(3)30xyxym………………….①依题意，O在以PQ为直径的圆上，则圆心1(,3)2显然在直线230xy上，则12(3)302，解之可得1又(0,0)O满足方程①，则30m，故3m。四、利用圆系方程判断直线与圆的位置关系：例4圆系22yx＋2kx＋（4k＋10）y＋10k＋20＝０（kＲ，k≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：22yx＋10y＋20＋k（2x＋4y＋10）＝０∵与k无关∴020100104222yyxyx即5)5(05222yxyx易知圆心（０，-５）到直线x＋2y＋5＝０的距离恰等于圆22)5(yx＝５的半径．故直线x＋2y＋5＝０与圆22)5(yx＝５相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．五、巧用过两圆交点的曲线系方程求圆方程例1求过圆：2x+2y2x+2y+1=0与圆：2x+2y+4x2y4=0的交点，圆心在直线：250xy的圆的方程.分析：本题是求过两圆的交点的圆的方程问题，用过两圆的交点的圆系方程求解.解析：设所求圆的方程为：2x+2y2x+2y+1+(2x+2y+4x2y4)=0(≠1).整理得22(1)(1)(42)2(1)14xyxy=0，所以所求圆的圆心为121(,)11，由已知知所求圆的圆心在直线：250xy上，所以1212511＝0，解得，=8，代入圆系方程整理得，所以，所求圆的方程为223418330777xyxy.点评：对过两圆交点的圆的问题，用过两圆的交点的圆系方程求解，可以优化解题过程，注意过交点的圆系方程表示的圆包括哪一个圆不包括那一个圆，且参数不等于1这一条件，同学们应很好掌握这一方法.六、巧用过两圆交点的曲线系方程求直线方程例2已知圆O：222410xyxy和圆外一点A（3，4），过点A作圆O的切线，切点分别为C、D，求过切点C、D的直线方程.分析：本题是求过切点的直线方程，由切线性质知，切点在以线段AO为直径的圆上，故直线CD是以线段AO为直径的圆与圆O的公共弦所在的直线方程，故可用过两圆交点的曲线系方程求此直线方程.解析：由切线性质知，切点C、D在以线段AO为直径的圆上，由题知，O(1,2)，∴|AO|=22(31)(42)=210，线段AO的中点为（2，1），∴以线段AO为直径的圆的方程为，22(2)(1)10xy，即224250xyxy，圆O的方程与以AO为直径的圆的方程相减整理得：x+3y+3=0，∴直线CD的方程为x+3y+3=0.点评：对过圆切点的直线方程问题，可通过构造圆，利用过两圆交点的曲线系方程求直线方程，注意过两圆交点的曲线系方程参数为何值时表示圆，参数为何值时表示直线.例