《空间几何体的结构》知识点加基本题型

知识框架一、空间几何体的结构棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台简单组合体柱体锥体台体球体二、空间几何体的三视图和直观图中心投影平行投影斜二测画法俯视图侧视图正视图三视图直观图投影三、空间几何体的表面积和体积圆柱的侧面积：2Srl圆锥的侧面积：Srl圆台的侧面积：()Srrl球的表面积：24SR柱体的体积：VSh锥体的体积：13VSh台体的体积：1()3VSSSSh球的体积：343VR面积体积1.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2.由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体,叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴。下面我们来探究柱,锥,台,球的结构特征请仔细观察下列几何体,说说它们的共同特点.定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫做棱柱。棱柱的有关概念DABCEFF′A′E′D′B′C′侧面顶点底面侧棱棱柱中,两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底),其余各面叫棱柱的侧面,相邻侧面的公共边叫侧棱,侧面与底面的公共顶点叫棱柱的顶点。（1）底面互相平行．（2）侧面都是平行四边形．（3）侧棱平行且相等．棱柱的分类：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、……我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱、……三棱柱四棱柱五棱柱1.侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱．2.侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱．3.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？探究:A’B’C’D’ABCD长方体按如图截去一角后所得的两部分还是棱柱吗？探究:ABCDA’B’C’D’EFGHF’E’H’G’答：都是棱柱．请仔细观察下列几何体,说说它们的共同特点.定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。SABCD顶点侧面侧棱底面棱锥中,这个多边形面叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。棱锥的有关概念棱锥的表示用表示顶点和底面各顶点的字母表示,如图所示的棱锥表示为：“棱锥S—ABCD”棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、……ABCDS棱锥的性质：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。ABCDA’B’C’D’用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.棱台的有关概念：想一想：下列几何体是不是棱台,为什么?(1)(2)概念性质侧面积体积棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。(1)侧棱都相等：(2)侧面都是平行四边形：(3)两个底面与平行底面的截面是全等的多边形；侧面展开图是一组平行四边形棱锥一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。平行底面的截面与底面相似。侧面展开图是一组三角形棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台(1)上下两个底面互相平行；(2)侧棱的延长线相交于一点；侧面展开图是一组梯形；有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台(1)侧棱都相等：(2)侧面都是平行四边形：(3)两个底面与平行底面的截面是全等的多边形；平行底面的截面与底面相似。(1)上下两个底面互相平行；(2)侧棱的延长线相交于一点；侧面展开图是一组平行四边形。侧面展开图是一组三角形。侧面展开图是一组梯形；V=Sh13VShAA’母线定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。（1）圆柱的轴——旋转轴.（2）圆柱的底面——垂直于轴的边旋转而成的圆面。（3）圆柱的侧面——平行于轴的边旋转而成的曲面。（4）圆柱侧面的母线——无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边。B’OBO’轴底面侧面圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆柱OO'”S顶点ABO底面轴侧面母线定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示,如:“圆锥SO”OO’定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.想一想:圆台能否用旋转的方法得到?若能,请指出用什么图形?怎样旋转?思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？上底扩大上底缩小O半径球心定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.球的表示方法：用表示球心的字母表示,如:“球O”简单组合体的结构特征简单组合体构成的两种基本形式：A、由简单几何体拼接而成B、由简单几何体截去或挖去一部分而成如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。•三视图•正(主)视图——从正面看到的图•侧(左)视图——从左面看到的图•俯视图——从上面看到的图•画物体的三视图时,要符合如下原则:•位置：正视图侧视图•俯视图•大小：长对正,高平齐,宽相等.几种基本几何体三视图1.圆柱、圆锥、球的三视图几何体主视图左视图俯视图知识回顾·几种基本几何体的三视图2.棱柱、棱锥的三视图几何体主视图左视图俯视图知识回顾(1)在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝___________．(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于____________的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持_____________；平行于y轴的线段，长度为原来的12.x′轴和y′轴原长度不变45°一般说来，平行关系不变；点的共线性不变；线的共点性不变；但角的大小有变化直观图的面积与原图面积之比题型一几何体的结构、几何体的定义设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点.其中真命题的序号是.利用有关几何体的概念判断所给命题的真假.【例1】思维启迪题型分类深度剖析解析命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的,因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,命题④由棱台的定义知是正确的.答案①④解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可.探究提高知能迁移1下列结论正确的是（）A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析A错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形，但它不一定是棱锥.B错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.C错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.D正确.答案D(2011年亳州质检)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.32a2B.33a2C.68a2D.616a2例2【思路点拨】根据直观图的画法规则求出△A′B′C′的高即可．题型二几何体的直观图【解析】由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在直观图中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝68a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.【答案】D知能迁移2如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是.解析把直观图还原为平面图形得：直角梯形ABCD中，AB=2，BC=1+，AD=1，2.222)22(21面积为答案22题型三几何体的三视图(2009·山东，4)一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【例3】32π232π4332π2332π4由几何体的三视图，画出几何体的直观图，然后利用体积公式求解.解析该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为答案C通过三视图间接给出几何体的形状,打破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关运算的传统模式,使三视图与传统意义上的几何体有机结合,这也体现了新课标的思想.思维启迪22)2(31,3323.332π2探究提高3知能迁移3一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（）A.B.C.D.解析由三视图知，该几何体为一圆锥，其中底面直径为2，母线长为2，S侧=πrl=π×1×2=2π.π33π2π3π4B例4.球内接正方体的表面积与球的表面积的比为（）（A）2：π（B）3：π（C）4：π（D）6：πA题型四多面体与球练一练：1、将一个直角梯形绕其较短的底所在的直线旋转一周得到一个几何体，关于该几何体的以下描绘中，正确的是()A、是一个圆台B、是一个圆柱C、是一个圆柱和一个圆锥的简单组合体D、是一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体D2.已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为5cm,面积为12cm,求圆锥的底面半径.3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.4．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是.355R=3或R=4L=4cm5.圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长10，则圆台的体积为（）（A）672π（B）224π（C）100π（D）5443B111主视图侧视图俯视图6.已知一几何体的三视图如下图，试求其表面积与体积.直观图23236,3cmcm2210.棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高的比为（）A．1∶1B．1∶1C.2∶3D．3∶411.利用斜二测画法得到①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是（）A．①②B．①C．③④D．①②③④12.正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为（）A．279cm2B．79cm2C．323cm2D．32cm213.有半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为（）A．r3B．r3C．r233D．r23CBAD7.我们的共同目标!追求人生的美好!