双曲线定义及其标准方程

2.3.1双曲线的定义及其标准方程1、概念：如果把椭圆定义中的和改成差:12||||2PFPFa或21||||2PFPFa,即:12||||||2PFPFa，其中0a动点的轨迹会发生什么变化呢？①若21212FFaMFMF，则轨迹是______________________；若21122FFaMFMF，则轨迹是________________________；②若21212MFMFaFF，则______________________；③在1202||aFF条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做____________.（1）当ca22时，双曲线（2）当ca22时，射线（3）当ca22时，无轨迹2、概念形成双曲线定义定义：平面内到两定点21,FF的距离的_______________等于常数（小于21FF）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,FF叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||FF叫做焦距.双曲线定义中的注意点在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21FF.（2）当12||||2PFPFa时，动点的轨迹是与2F对应的双曲线的一支，21||||2PFPFa时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程．如图8-12建系，设cFF221，取过点21FF、的直线为x轴，线段21FF的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则)0,(F)0,(21ccF、，设M（x，y））是所求轨迹上的点.依已知条件有aMFMF221，221)(ycxMF，222)(ycxMF，22)(ycxaycx2)(22，移项得：22)(ycx22)(2ycxa，平方得：222)()(ycxacxa（*）再平方得：)()(22222222caayaxca，即)()(22222222acayaxac，令)0(222bcacb则222222bayaxb，即12222byax综上：焦点在x轴上双曲线的标准方程是12222byax①，其中)0(222acbac，焦点)0,(F)0,(21ccF、.◆同样如果双曲线的焦点在y轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a、b的意义同上，那么只要将方程①的x、y互换，就可以得到焦点在y轴上双曲线的标准方程是12222bxay，其中)0(222acbac，焦点),0(F),0(21ccF、.【例1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量cba,,的值③12422yx②12222yx③12422yx④369422xy（1232222xy）奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆【例2】已知双曲线两个焦点的坐标为)0,5()0,5(21FF，，双曲线上一点P到)0,5()0,5(21FF，的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程解：【例3】已知双曲线的焦点在y轴上，中心在原点，且点)24,3(1P，)5,49(2P，在此双曲线上，求双曲线的标准方程【例3】已知双曲线116922yx的右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上的左支上且|PF1||PF2|=32，求∠F1PF2的大小.奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆【例4】已知F1、F2是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积.解：练习题：1.已知点F1（0，-13）、F2（0，13），动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为（）A.y=0B.y=0(x≤-13或x≥13)C.x=0(|y|≥13)D.以上都不对2.在方程mx2－my2=n中，若mn＜0，则方程的曲线是（）A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在y轴上的双曲线3.已知双曲线的方程为2222byax=1,点A、B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|=m,F1为另一焦点，则△ABF1的周长为（）A.2a+2mB.4a+2mC.a+mD.2a+4m4.已知双曲线的焦距为26，ca2=1325,则双曲线的标准方程是（）A.1692522yx=1B.1692522xy=1C.1442522yx=1D.1442522yx=1或1442522xy=15.F1、F2为双曲线42x－y2=－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是（）A.2B.4C.8D.166.双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y+20=0上，两焦点关于原点对称，35ac，则此双曲线的方程是（）A.643622yx=1B.366422yx=1C.643622yx=－1D.366422yx=－17.双曲线2x2－y2=k的焦距是6，求k的值.8.一双曲线中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A（-27，-3）、（7，62），求双曲线的方程.9.已知曲线C：x2－y2＝1及直线l：y=kx－1.若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；10.已知双曲线162422yx=1，P为双曲线上一点，F1、F2是双曲线的两个焦点，并且∠F1PF2=60°，求ΔF1PF2的面积.椭圆与双曲线定义及性质对比名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数2a（2a21FF）的动点的轨迹叫椭圆.即aMFMF221当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数2a（a2021FF）的动点的轨迹叫双曲线.即aMFMF221当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：12222byax0ba焦点在y轴上时：12222bxay0ba注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数cba,,的关系222bca（符合勾股定理的结构）0ca，a最大，可以bcbcbc,,222bac（符合勾股定理的结构）0acc最大，可以bababa,,xOyxOy