平面向量新编

1平面向量与最值例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中,xyR,则xy的最大值是________.分析：寻求刻画C点变化的变量，建立目标xy与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。解法一：平方法、不等式求最值。解法二：坐标化、函数法求最值。设AOC，以点O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，则(1,0)A，13(,)22B，(cos,sin)C。,OCxOAyOB13(cos,sin)(1,0)(,)22xy即cos23sin2yxycos3sin2sin()6xy2(0)3。因此，当3时，xy取最大值2。例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OAOBOP点Q为射线OP上的一个动点，当QAQB取最小值时，求.OQ分析：因为点Q在射线OP上，向量OQ与OP同向，故可以得到关于OQ坐标的一个关系式，再根据QAQB取最小值求.OQ解：设(2,),(0)OQxOPxxx，则(12,7),(52,1)QAxxQBxx22(12)(52)(7)(1)520125(2)8QAQBxxxxxxx图112当2x时，QAQB取最小值-8，此时(4,2).OQ例3:(05年江苏高考试题)在ABC中,O为中线AM上一个动点,若2AM,则()OAOBOC的最小值是__________.分析:(如图)本题的突破口关键在于AM为ABC的中线,故易知2OBOCOM,所以:()(2)2()OAOBOCOAOMOAOM从而把不共线向量数量积的问题转化为共线向量数量积的问题.解:AM为ABC的中线2OBOCOM()(2)2()2||||cos2||||OAOBOCOAOMOAOMOAOMOAOM又22||||||||||()124OAOMAMOAOM()2OAOBOC例4:(04年湖北高考试题)在RtABC中,BCa,若长为2a的线段PQ以A点为中点,问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大?并求出这个最大值.分析:本题的突破口关键在于,,PAQ三点共线,从而联想到把BP和CQ作如下的分解:12BPBAAPBAPQ,12CQCAAQCAPQ分解之后,真可谓是海阔天空.211()24BPCQBACAPQBACAPQ故:222211||||coscos22BPCQPQBCaPQBCaaa解:11()()()()22BPCQBAAPCAAQBAPQCAPQ221111()||2424BPCQBACAPQBACAPQBACAPQBCPQ又,||2,||BACAPQaBCa222211||||coscos22BPCQPQBCaPQBCaaa当cos1,即0(PQ与BC同向)时,BPCQ取到最大值0.对于上述两道高考试题,应用向量的基本运算把不共线的数量积问题转化为共线的或者是易求的数量积问题,从而达到解决问题的目的.但是从纯几何的角度出发,对学生的思维层次要求较高,对于此类问题我们还可以借助建立直角坐标系的方法,降低问题的难度.3例3:另解:以M点为圆心,AM所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系.设(0,2),(,),(0,)ABxyOz,则(,)Cxy(0,2),(,),(,)OAzOBxyzOCxyz(0,2)OBOCz(02)z2()(2)(2)2(1)2OAOBOCzzz故()OAOBOC的最小值为2例4:另解:以A点为原点,AB边所在直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系.设CAB,PQ与AB的夹角为,则(cos,0),(0,sin)BaCa(cos,sin),(cos,sin)PaaQaa(coscos,sin),(cos,sinsin)BPaaaCQaaa2222222coscoscossinsinsin[1cos()]BPCQaaaaa当cos()1即(PQ与BC同向)时,BPCQ的最大值为0点评:通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的求函数最值问题.读者可以试着用上述的两种方法来完成下面的练习.练习:如图,已知等边ABC的边长为2,又以A为圆心,半径为1作圆,PQ是直径,试求BPCQ的最大值,并指明此时四边形BCQP的形状.答案:BPCQ的最大值为3,此时四边形BCQP为矩形.三角形四心与平面向量向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，4把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心”的向量风采【命题1】已知G是ABC△所在平面上的一点，若0GAGBGC，则G是ABC△的重心．如图⑴.A'GCAB【命题2】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足()OPOAABAC，(0)，，则P的轨迹一定通过ABC△的重心.【解析】由题意()APABAC，当(0)，时，由于()ABAC表示BC边上的中线所在直线的向量，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的重心，如图⑵.二、“垂心”的向量风采【命题3】P是ABC△所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则P是ABC△的垂心．【解析】由PAPBPBPC，得()0PBPAPC，即0PBCA，所以PBCA⊥．同理可证PCAB⊥，PABC⊥．∴P是ABC△的垂心．如图⑶.PABC图⑴图⑵MPCBAOHFEMABCOP5OCAB【命题4】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足coscosABACOPOAABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心．【解析】由题意coscosABACAPABBACC，由于0coscosABACBCABBACC，即0coscosABBCACBCBCCBABBACC,所以AP表示垂直于BC的向量，即P点在过点A且垂直于BC的直线上，所以动点P的轨迹一定通过ABC△的垂心，如图⑷.三、“内心”的向量风采【命题5】已知O是平面上一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足ABACOPOAABAC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的内心．【解析】由题意得ABACAPABAC，∴当(0)，时，AP表示BAC的平分线所在直线方向的向量，故动点P的轨迹一定通过ABC△的内心，如图⑹.四、“外心”的向量风采【命题6】已知O是ABC△所在平面上一点，若222OAOBOC，则O是ABC△的外心．图⑶图⑷MOBCAP6【解析】若222OAOBOC，则222OAOBOC，∴OAOBOC，则O是ABC△的外心，如图⑺。【命题7】已知O是平面上的一定点，ABC，，是平面上不共线的三个点，动点P满足2coscosOBOCABACOPABBACC，(0)，，则动点P的轨迹一定通过ABC△的外心。【解析】由于2OBOC过BC的中点，当(0)，时，coscosABACABBACC表示垂直于BC的向量（注意：理由见二、4条解释。），所以P在BC垂直平分线上，动点P的轨迹一定通过ABC△的外心，如图⑻。平面向量基本定理【例】如图所示，在△OAB中，OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC交于点M，设OA＝a，OB＝b，以a、b为基底表示OM.[自主解答]设OM＝ma＋nb(m，n∈R)，则AM＝OM－OA＝(m－1)a＋nb，AD＝OD－OA＝12b－a＝－a＋12b.因为A、M、D三点共线，所以m－1－1＝n12，即m＋2n＝1，而CM＝OM－OC＝(m－14)a＋nb，CB＝OB－OC＝b－14a＝－14a＋b，因为C、M、B三点共线，所以m－14－14＝n1，即4m＋n＝1.7由m＋2n＝1，4m＋n＝1，解得m＝17，n＝37，所以OM＝17a＋37b.思考：保持例题条件不变，在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设OE＝pOA，OF＝qOB.求17p＋37q的值．解：EM＝OM－OE＝(17－p)a＋37b，EF＝OF－OE＝－pa＋qb，∵EF与EM共线，∴17－p－p＝37q，∴17q－pq＝－37p，即17p＋37q＝1.练习：题1：如图，已知点G是△ABC的重心，若PQ过△ABC的重心，记CA=a,CB=b,CP=ma,CQ=nb,则11mn=__________.解：23CGCM=13a+13b=1133CPCQmn,∵P、G、Q三点共线，∴11133mn，∴11mn=3.题2：(1)已知||1a,||2b,a与b的夹角为1200，求使akb与kab的夹角为锐角的实数k的取值范围.(2)已知(2,3)amm，(21,2)bmm，且a与b的夹角为钝角，求实数m的取值范围.解：(1)()()akbkab=222(1)kakabkb=k+(k2+1)×1×2×cos1200+4k=–k2+5k–1,依题意，得–k2+5k–1＞0，∴52152122k.又当akb与kab同向时，仍有()()akbkab＞0，此时设()akbkab，显然a、b不共线，所以1k，k=,k==1,取k==1.∴52152122k且k≠1.GABCMPQ8平面向量的综合应用1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1：已知向量321,,OPOPOP满足条件0321OPOPOP，1321OPOPOP，求证：321PPP是正三角形解：令O为坐标原点，可设333222111sin,cos,sin,cos,sin,cosPPP由321OPOPOP，即332211θsinθcosθsin,θcosθsin,θcos321321θsinθsinθsinθcosθcosθcos两式平方和为11θθcos2121，21θθcos21，由此可知21的最小正角为0120，即1OP与2OP的夹角为0120，同理可得1OP与3OP的夹角为0120，2OP与3OP的夹角为0120，这说明321,,PPP三点均匀分部在一个单位圆上，所以321PPP为等腰三角形.例题2：求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，设aBaA2,0,0,2，则aCaD,0,0,，从而可求：aaBDaaAC2,,,2,aaaaaaBDA