二项式定理教师

1二项式定理【2013年高考会这样考】1.二项式定理是高考重点考查内容之一．分值一般为5～9分．考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题.2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。【复习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的．其中的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫系数．式中的Crnan－rbr叫二项展开式的，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.2．二项展开式形式上的特点(1)项数为.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_______(3)字母a按排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数．即Crn＝Cn－rn.(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k＜n＋12时，二项式系数逐渐．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；2当n是偶数时，中间一项T12n二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项12121n,nTT的二项式系数相等且最大。(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.双基自测1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80B．40C．20D．10解析Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，当r＝2时，T3＝40x2.答案B2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45B．55C．70D．80解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋292由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.答案C3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．A．9B．8C．7D．6解析令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案B4．(2011·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n＝()．A．6B．7C．8D．9解析Tr＋1＝Crn(3x)r＝3rCrnxr由已知条件35C5n＝36C6n即C5n＝3C6nn！5！n－！＝3n！6！n－！整理得n＝73答案B5．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.解析Tr＋1＝Cr21x21－r(－1)r＝(－1)rCr21x21－r由题意知a10，a11分别是含x10和x11项的系数，所以a10＝－C1121，a11＝C1021，∴a10＋a11＝C1021－C1121＝0.答案0题型精炼考向一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知在nxx)3-(33的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3(－3)rx－r3＝(－3)rCrnxn－2r3.(1)∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，解得n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴x2的项的系数为C210(－3)2＝405.(3)由题意知10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈Z.令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k，∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k＝2,0，－2，即r＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.方法总结：式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．4【训练1】(2011·山东)若62)(xax展开式的常数项为60，则常数a的值为________．答案：4考向二二项式定理中的赋值【例2】二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．[审题视点]此类问题要仔细观察，对二项式中的变量正确赋值．解设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．方法总结：给出的是一个恒等式，对a，b赋予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方法．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f(a，b)＝(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn.对a，b赋予一定的值，就能得到一个等式．【训练2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)5＝2187.考向三二项式的和与积【例3】►(1＋2x)3(1－x)4展开式中x项的系数为________．答案：2[审题视点]对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，可通过排列组合知识去求解．变式3：求123824)31()21()1(xxxxxx展开式中4x的系数。方法总结1．二项式定理及通项公式的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用．有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理．(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝kknknbaC，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题．(3)在通项公式Tk＋1＝kknknbaC(n∈N*)中，要注意有n∈N*，k∈N，k≤n，即k＝0,1,2，…，n.2．项的系数与项的二项式系数的区别利用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项、系数最大项、有理项等)或某些项的系数是本节重点内容，解题时，要正确区分展开式中的“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念的异同．如(1＋2x)5的展开式中的第3项为T3＝2232540)2(1xxC，其中该项的系数为402225C，而该项的二项式系数为25C＝10.当堂达标1.求102)11(xx的展开式的常数项。2．92)21(xx展开式中9x的系数是；2213.若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为(A)A.1B.-1C.0D.24.已知naa)12(3的展开式的常数项是第七项，则正整数n的值为(B)6A．7B．8C．9D.105.设n为自然数，则nnnknknknnnnCCCC)1(2)1(22110等于(D)A.n2B.0C.-1D.16.11)1(x展开式中奇次项系数的和是；1027.若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝()．A．9B．10C．－9D．－10