幂函数图像

幂函数的性质与图象问题引入(1)如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数(2)如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;(3)如果正方体的边长为ｘ,正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ函数;(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ,这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数.我们先看几个具体问题:１：以上各题目的函数关系分别是什么？xyxy2xy3xy21xy1xKy２：以上问题中的函数具有什么共同特征？一、幂函数的定义一般地，函数y=xＫ叫做幂函数，其中x是自变量，k是常数。(k∈Q)注意1、幂函数的解析式必须是y=ｘＫ的形式，其特征可归纳为“两个系数为１，只有１项．2、定义域与k的值有关系.例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数？（1）y=（2）y=2x2（3）y=2x（4）y=1(5)y=x2+2(6)y=-x321x答案:(1)(4)(1)奇偶性:∵定义域不关于原点对称,∴为非奇非偶函数.1X11X2于是即f(x1)f(x2)x1X20＜由不等式性质,得(2)单调性:设任意x1、x2∈(0,+∞),且0＜x1＜x2,21xxf)(令所以在（0，+∞）上是减函数21xy例2研究幂函数的定义域、奇偶性和单调性，并作出图象21xy解:它的定义域是（０，+∞）xxy121321-1-2-3y-4-224xox1/41/21234y21.410.70.60.5321-1-2-3y-4-224x(4,0.5)(3,0.6)(2,0.7)(1,1)(12,1.4)(14,2)o321-1-2-3y-4-224x(4,0.5)(3,0.6)(2,0.7)(1,1)(12,1.4)(14,2)o探究与发现例3：讨论函数的定义域、奇偶性,作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、及值域。23yx定义域:(－∞,+∞)奇偶性:偶函数-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)ox012468y011.62.53.34-10-5510108642-2ox-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)ox012468y011.62.53.34-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)oxyx012468y011.62.53.34-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)oxy-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)ox012468y011.62.53.34-10-5510108642-2(8.4)(4,2.5)(1,1)oxy探究与发现例２：讨论函数的定义域，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性、奇偶性及值域。23yx(-,0]在上是增函数定义域：[0,),)（在上是减函数值域：奇偶性：偶函数单调性：[0,)作出下列函数的图象:x…-3-2-10123……-3-2-10123……9410149……-27-8-101827……\\\01……-1/3-1/2-1\11/21/3…2yx3yx12yx1yxy=x2yx2yx3yx12yx1yx3y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x294101494321-1-2-3-4-6-4-2246y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-10123y=x3-27-8-1018274321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x012401212yx24321-1-2-3-4-6-4-2246y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/31yx4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x04321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)y=x0在第一象限内,函数图象的变化趋势与指数有什么关系?在第一象限内，当k0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而下降不管指数是多少,图象都经过哪个定点?4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)在第一象限内，当k0时，图象随x增大而上升。当k0时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）y=x0K0时,图象还都过点(0,0)点幂函数的性质:１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中k的不同而各异.３.如果k0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;K0２.如果k0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数;k10k1练习:如果函数是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。2m1m舍去32221mmxmmxf)()(例5.利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）0.20.3与0.30.3(3)2.5-25与2.7-25解:(1)y=x0.8在(0,∞)内是增函数,∵5.25.3∴5.20.85.30.8(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数∵0.20.3∴0.20.30.30.3(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数∵2.52.7∴2.5-2/52.7-2/5练习1）0.51.30.51.525.125.092）3）141.79141.814）223(2)a232＜＜＞≤XyXy第一象限k0时k0时双曲线型０＜ｋ＜１开口向右抛物线型OOk0画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其他象限还有的图象K=0,直线型ｋ＞１开口向上型抛物线K=1练习:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________11,1,,22一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在Y轴与直线x=1之间正好相反。C4C2C3C11y21xy32xy(A)(B)(I)(C)X(G)(H)(D)(J)34xy3xy2xy35xy23xy31xy21xyxy(F)IGEBCAHJDF练习XXXXXXXXXOOOOOOOOOOyyyyyyyy(E)y小结1、幂函数的定义及图象特征?2、幂函数的性质形如ｙ＝ｘｋ（ｋ∈Ｑ）的函数叫做幂函数．3、思想与方法在第一象限内ｋ＞０时图象呈上升趋势；ｋ＜０时图象呈下降趋势．过定点（１，１）k10k1Ｋ＜０xxoyyo小结1、幂函数的定义及图象特征?2、幂函数的性质3、思想与方法k0,在(0,+∞)上为增函数;k0,在(0,+∞)上为减函数图象过定点(1,1)小结1、幂函数的定义及图象特征?2、幂函数的性质3、思想与方法运用函数性质解决问题时,要想到数形结合的思想方法,寓数于形,赋形于数,互相利用,相得溢彰.作业:103页3106页1,3成功始于方法巩固才能提高