原创：高考中平面向量的常用几何性质

向量的常用几何性质一、向量的加减法相关的几何性质（图中点G为ABC的重心，M为BC边上的中点，P为任意点）性质1：，则2ABACAMuuuruuuruuur性质2：21()33AGAMABACuuuruuuruuuruuur性质3：0GAGBGCuuruuuruuurr，1()3PGPAPBPCuuuruuruuruuur性质4：重心坐标为(,)33ABCABCxxxyyyG性质5：（1）若ABC的边AB和BC的长为定值，且ABBC，则sinBCAABuuuruuur（2）abababrrrrrr二．向量的乘法相关的几何性质性质:6：ABACuuuruuur和成锐角时'ABACABACuuuruuuruuuruuur；ABACuuuruuur和成钝角时'ABACABACuuuruuuruuuruuur推论：若ABACuuuruuur和ACuuur都为定值，则点B的轨迹为垂直于AC直线，离A点的距离为'ABACABACuuuruuuruuuruuur。性质7：若AB为⊙O的一条定弦，点P为圆周上或者圆内的动点，则：（1）当点P为线段AB的中点P1时，PAPBuuruur有最小值24ABuuur；（2）当点P为优弧»AB的中点P2时，PAPBuuruur有最大值22122ABPPuuuruuur性质8、若AB为⊙O的一条定弦，点P为圆周上或者圆内的动点且∠P为定值，则：（1）当点P在平行于弦AB的直径的右端时，APABuuuruuur和BPABuuruuur有最大值；（2）当点P在平行于弦AB的直径的右端时，APABuuuruuur和BPABuuruuur有最小值。提示：性质1和性质8可归纳为“圆上三点，向量乘积”问题，规律为：动动中垂线，动静平行线。GACMBBAB’CBAB’CABCP1ABP2ABPPOOOOP三、与基底有关的几何性质（非零向量ABACuuuruuur和不共线）性质9：若,APABACRuuuruuuruuur，，则APuuur表示平面ABC内的任意向量，P为平面内任意点。性质10：若(1)[0APABACuuuruuuruuur，，1]，则点P线段BC上的任意一点（包铦端点B，C）。性质11：若(1)0APABACuuuruuuruuur，（，1)，则点P线段BC上的任意一点（不包括端点B，C）。性质12：若(1)APABACRuuuruuuruuur，，则点P为直线BC上的任意一点。变式：(22)APABACRuuuruuuruuur，，则点P为点B和线段AC的中点的连线上任意一点。四、与向量垂直有关的几何性质性质13：abababrrrrrr性质14：()()abababrrrrrr性质15：ABC中，ABACuuuruuur，且2ABACuuuruuur的三种画法及其推论（1）A点固定，B、C在轴上移动（2）B、C固定，A在圆上移动（3）A点固定，直径BC在圆内转动由三个图均可看出1AOuuur，2ABACAOuuuruuuruuur等结论，由图3还可看出线段BC的轨迹为图中的圆，包括点O，但不包括线段OA和OA1。若点M为线段BC上任意一点（含端点），则点M可以是圆周和圆内的任意一点（包括点O，但不包括直径AA1上的其它点）。性质16：()()0acbcrrrr向量cr的端点在以向量abrr和的端点为直径的圆上。变式：()(2)0acbcrrrr向量cr的端点在以向量12abrr和的端点为直径的圆上。五、其他画法和性质（关键在于：向量加法用三角形定则，减法用平行四边形定则，参见性质6）1、abbrrr2、abbrrr思考1：对上述性质中的各个字母或向量，如性质16的变式那样乘以某个常数后，又会什么意思？思考2：在你做过的向量有关的题目中，你还能总结出哪些性质？CABOxxxyCABOCBOA1Aaba+baba-b