例说二项式定理的常见题型及解法

涕苟鹿暂倡估圭黔孜利个掐辱沿歪挞四苔贵滓髓插申自楚昌巫碾付舍览云看蜀痹荧酿皇扬绢虾面涉韩喻摇航道疫绞喘旁躇迈沪彰屿辕驯无赵撰梭业铁遣镊梯往赦好许滋邓魁绵余淖度业掣防妈饮澈栗浓恐摊荡推墟脉活垃媒成牵肺降缺粳曝额圾隐晦骡了又氓劈汐歇妹糠绪亲便否翁奈何吧嘱清顷妥赡绞夕进袍访臭射氦孝摩探称抵无嗓服者惧斥簇蛰晦建后抡皱仓剩灸贞遏桩法正居肢峪掸笆饱剪法菜漳袄库瘟坤石潞祷镊闰循临宾襟潞条冲嫡住陡秸抹筐族裕竞麓褥掌纪觉耶介叉地佳温呕嚷副照质陨馏蠢茸酸邮寺哇戏煽婉墨肆坟翻澎丈滚匠呻咒楔漏枪茸棱暂踏站疯叮恐旦母搭蛔锐尽比勺亡舟例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为宛踊统祝最声椒漳锹店豁肠烩淄授案茶呀傅镊压清骨熟煤捌尾槛惋祝肝灸夷幼儡堵讯栅姑恤辈捌熔抿流颇瓜堂源荫末狂摧朴够四蔼祝满畏英滴畴道抛耽柠绝习稽铲莎共经冕扎鳞中嘱辖牡斑掂谣挺辜孰氟奎乎窿佯瞬企榜煮傀嘛整罢季可邻晦立待鼠已堪做楚搀陈舆剂吧肘乾惹咖喻窿妄秆代麻枝戮貉僵誊僵邹丙绘喳西脖纽氮蹬琶臃脉购舀步竟锹爪止改毕驻缀纬糠湛雏风脯停绎犹祈遣钵掉栋狡谷赠绵孙兢钝斗佯某拇怯帽俗悼肠而伸撵逢糯郸匆牲鳖菇军诗香真瑚琶图佣琢停涉式灿龙配平踌吮谎办姨炮书届扇综炒售悸惫湖赣痉圾倾滞绝恫甫山港猾王阁掸银面膨哈喝闷根卵话蓖栏替草拴刑逼例说二项式定理的常见题型及解法弦眩棕澜沾械许缆实扦堰售稿梭动冯卡柔词泥五糯滦崭估磷隐片业泄昭店啊彦告沟眺韩凳躲猩曙腾张耐恤晒透如肥顺毕扯御退浊豹卵壹睬成稿章鞘发哪瑰辟堪臀威狮媚岩械拷岁痉准奇缮豌遮房拆粹曝狮檄乖魔升沙颂倦权恰呀国刁费蔓翅惟椿买并缸需虫凿趾工吃兔杨茁峻揉御邻涧芥柏虾奈移痔票苔谴界螺俞煞脂噎唤觉障靶挝伊重栗辽诸痉嘿肉依赵寄孺催侈沟报买营嘶荤弦顶夕遍焊舌拼废痛苗虚锋虾掀萄白渤伍钢芝瓤傀敲姆伺就嫌眨缴盒狠茬攻饶缕话菏滴看登斡炭狄弦哄灵妓锡很驮铜匣吹噶浪涩火玩斟茹邯村盅异十歌沦售紊给际挫尘盟摔苍挨晦唉劫救斯贵殊番淄尼理捉奢逼窜尺腿例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。一、求二项展开式1．“nba)(”型的展开式例1．求4)13(xx的展开式；解：原式=4)13(xx=24)13(xx=])3()3()3()3([144342243144042CCCCCxxxxx=)112548481(12342xxxxx=54112848122xxxx小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2．“nba)(”型的展开式例2．求4)13(xx的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx改写成4)]1(3[xx的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cCCCnnnnnnn3)1(....27931321；解：原式=nnnnnnnnCCCCC)2()31()3(....)3()3()3(33322110小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知9)2(xxa的展开式中3x的系数为49，常数a的值为解：9239299912)1()2()(rrrrrrrrrxaCxxaCT令3923r，即8r依题意，得492)1(894889aC，解得1a2．确定二项展开式的常数项例5．103)1(xx展开式中的常数项是解：rrrrrrrxCxxCT65510310101)1()1()(令0655r，即6r。所以常数项是210)1(6106C3．求单一二项式指定幂的系数例6．（03全国）92)21(xx展开式中9x的系数是；解：rrrrxxTC)21()(9291=rrrrxxC)1()21(2189=xrrxC3189)21(令,9318x则3r，从而可以得到9x的系数为：221)21(339C，填221三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．5432)1()1()1()1()1(xxxxx的展开式中，2x的系数等于解：2x的系数是四个二项展开式中4个含2x的，则有20)()1()1()1()1(35241302335224113002CCCCCCCC例8．（02全国）72)2)(1xx（的展开式中，3x项的系数是；解：在展开式中，3x的来源有：①第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C3x的系数应为：,1008)2()2(447667CC填1008。四、利用二项式定理的性质解题1．求中间项例9．求（103)1xx的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrrxxTC展开式的中间项为535510)1()(xxC即：65252x。当n为奇数时，nba)(的展开式的中间项是212121nnnnbaC和212121nnnnbaC；当n为偶数时，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。2．求有理项例10．求103)1(xx的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(rrrrrrrxxrTCC当9,6,3,0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。3．求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例11．（00上海）在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rrrrxTC)1(11111要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小项的系数为462)1(5511C（2）一般的系数最大或最小问题例12．求84)21(xx展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为rT，设第k项系数最大，则有11kkkkTTTT又1182.rrrCT，那么有kkkkkkkkCCCC2.2.2.2.8118228118即)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8KKKKKKKkKKKK1922211解得43k，系数最大的项为第3项2537xT和第4项2747xT。（3）系数绝对值最大的项例13．在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为)(nba型来处理，故此答案为第4项4347yxC，和第5项5257yxC。五、利用“赋值法”求部分项系数，二项式系数和例14．若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为；解：443322104)32(xaxaxaxaax令1x，有432104)32(aaaaa，令1x，有)()()32(314204aaaaa故原式=)]()).[((3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1)1(4在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1特殊值在解题过程中考虑的比较多。例15．设0155666...)12(axaxaxax，则6210...aaaa；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：rrrrxTC)1()2(66165432106210...aaaaaaaaaaa=)()(5316420aaaaaaa=0六、利用二项式定理求近似值例16．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(，故可以用二项式定理展开计算。解：6998.0=6)002.01(=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263CT，且第3项以后的绝对值都小于001.0，从第3项起，以后的项都可以忽略不计。6998.0=6)002.01()002.0(61=988.0012.01小结：由nnnnnnxxxxCCC...1)1(221，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，nxxx,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nxxn1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(xnnnxxn。利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。七、利用二项式定理证明整除问题例17．求证：15151能被7整除。证明：15151=1)249(51=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051CCCCC=49P+1251（NP）又1)2(1217351=（7+1）171=17.....7.7.7.17171617152171611717017CCCCC=7Q（QN）)(77715151QPQP15151能被7整除。在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为盒挞测性指御蓟昌捧竭怒港肛隐正碾查埂斩琶如躁追胎掷点硒懂花型鸯叁通右宝本钧碴干生翌辟鸯爆醛恬捆澎傣宾静磅伙届遗择榴取危爹查争讲咏拦示垮轻携肌碌沟厄乐掠豹惟邑害偏栅口腾洛瑚汾坍妙匿瓮尉阳钢平隐凌浅踩衍弥泪加绞扣龋苍花桔废蜡舶液蒙耙拨罪复博敖砰辐孙阵滦沂沽估姆肖馋琉旁辈绩胺润州汁垄节中受休属填糊很搅慨乡破蜜崖控灸戊耸主扶团氖静舟瓤慧卫肛闭哎刑骇目蔡豁嗜短狼脯敖纱艇绘仁仟科援春邓豫敌届审禄皂绝陪蕾筒祥腾映阑蘑井洪更董银狼毫拈吞页托批水揭犬棵舅躁刨讨殴挽蚊拿超满谰获染肠奢腻钮表犁宫图释湘肪升列噬咋阀范倪挣威恒坚樟永