阻抗匹配与史密斯圆图：基本原理

阻抗匹配与史密斯圆图：基本原理摘要：本文是关于使用史密斯圆图进行射频阻抗匹配计算的教程。本文还提供了一些示例以描绘如何计算反射系数、阻抗、导纳等参数。本文还提供了一个样例，使用图形方法计算工作在900MHz下的MAX2472的匹配网络。经过实践证明，史密斯圆图仍然是用于判定传输线路阻抗的基本工具。当处理射频应用的实际实现时，总会碰到一些噩梦般的任务。其中之一就是需要匹配各个互连模块之间的不同的阻抗。通常，这些包括天线到低噪声放大器（LNA），功率放大器输出（RFOUT）到天线，以及LNA/VCO输出到混频器输入。对于信号与能量从“源”到“负载”的正确传输来说，匹配任务是必需的。在高频率的射频电路中，寄生元素（例如导线电感、层间电容、导体电阻等等）对匹配网络有着显著，但无法预料的影响。在几十兆赫兹频率以上的电路中，理论上的计算与仿真常常是不足够的。在射频实验室测量现场，伴随着调谐工作，必须仔细考虑才能决定合适的最终取值。必须使用计算值以便于建立结构类型与目标元件的取值。有很多方法可用于计算阻抗匹配，包括：计算机仿真：原理复杂但是使用简单，仿真器一般用于区别设计功能，而不是进行阻抗匹配。设计者必须熟悉需要键入的多重数据输入，以及这些数据输入的正确格式。他们同样需要专门的知识，以便于在大量的结果数据中找到有用的数据。另外，除非计算机被用于进行电路仿真这样的工作，电路仿真软件就不会预安装在计算机上。手动计算：由于计算方程的长度（“上公里的”），以及要进行计算的数字的复杂性，这种方式被普遍认为是非常单调乏味的。经验直觉：只有当一个人在射频领域中工作过很多年以后，才能取得这样的能力。简而言之，这种方法只适用于非常资深的专家。史密斯圆图：本文所专注的内容。本文的主要目标就是回顾史密斯圆图的构造与背景，并且总结如何使用史密斯圆图的实践方式。本文提出的主题包括了参数的实际说明，例如找到匹配网络元件的取值。当然，我们使用史密斯圆图不仅仅只能进行最大功率传输的匹配。史密斯圆图同样能够帮助设计者计算出最佳的噪声系数，确保质量因素的影响，以及评估稳定性分析等等。图1阻抗与史密斯圆图的基本原理快速入门在介绍史密斯圆图的效用之前，首先应当谨慎的进行一次短期的补习，了解在射频条件（100MHz以上）下的集成电路布线的波的传播现象。这对于一些应用来说可能是有效的，例如RS-485线路，功率放大器与天线之间的线路，低噪声放大器与降频变频器/混频器之间的线路，等等。众所周知，为了最大化从信源到负载的功率传输，信源阻抗必须等于负载阻抗的复共轭，或者：SSLLRjXRjX图2SSLLRjXRjX的简图若满足了这个条件，则从信源传输到负载的能量是最大化的。另外，为了获得有效的功率传输，这个条件是必需的，以避免能量从负载反射回信源。尤其对于高频环境来说，这种现象是真实存在的，例如视频线路、射频与微波网络等等。史密斯圆图是什么史密斯圆图是一种圆形的绘图，其上有很多交错的圆。当正确使用史密斯圆图时，我们甚至可以不通过任何计算，仅仅通过一些复合的结构，就可以匹配阻抗。唯一需要你去做的，就是读懂并遵循沿着这些圆上的值。史密斯圆图是复数反射系数（同样被称为“伽马”，并用符号表示为Γ）的一个极坐标图。或者，它在数学上被定义为1-端口散射参数s或s11。史密斯圆图是通过检查阻抗必须匹配之处的负载而逐渐发展得来的。你可以通过符号ΓL来表示它的反射系数，这个符号可用于描述一个负载（例如导纳、增益、跨导等等），而不是直接考虑它的阻抗。当涉及到射频频率时，符号ΓL就显得更加有用。我们知道，反射系数是被定义为反射电压波与入射电压波之间的比率：reflLincVV图3负载处的阻抗从负载反射回来的反射信号总量取决于信源阻抗与负载阻抗之间不匹配的程度。它的表达式可定义如下00reflLLriincLVZZjVZZ（方程2.1）因为阻抗是个复数，所以反射系数同样也会是个复数。为了减少未知参数的个数，很有必要将在应用中常见且常用的参数固定为常数。在这里，Z0（特征阻抗）通常是个常数，并且它是一个真正的行业标准化的值，例如50Ω、75Ω、100Ω、600Ω，等等。然后，我们可以通过如下方程定义一个标准化的负载阻抗：00LZRjXzrjxZZ（方程2.2）通过这种简化，我们可以重写反射系数方程如下：000000()/11()/11LLLriLLZZZZZzrjxjZZZZZzrjx（方程2.3）在此，我们可以看到负载阻抗与它的反射系数之间的直接关系。不幸的是，这种关系的复杂性实际上并没有用处，因此，我们可以使用史密斯圆图作为上述方程的图形表示形式。为了构建史密斯圆图，就必须重写方程，以便于将标准的几何图形抽出（例如圆形或空白线）。首先，将方程2.3反过来改写为：1111riLLrijzrjxj（方程2.4）然后2222112rirrir（方程2.5）通过设定方程2.5的实部与虚部，我们得到了两个独立的新关系：2222112rirrir（方程2.6）22212irrix（方程2.7）方程2.6经过方程2.8到2.13的计算，便可得到最终的方程2.14。这个方程是复平面（Γr,Γi）中参数方程222()()xaybR的一种形式，它表示一个圆心在坐标[r/(r+1),0]处，半径为1/(1+r)的圆。222221rririrrrr（方程2.8）222221rrriirrrr（方程2.9）22(1)2(1)1rrirrrr（方程2.10）222111rrirrrr（方程2.11）222222211(1)(1)1rrirrrrrrrr（方程2.12）2222211()11(1)(1)rirrrrrrr（方程2.13）2221()()11rirrr（方程2.14）图4a为进一步的细节：图4a。位于圆上的所有点，它们的阻抗中的实部值都是相同的。例如，图中有一个r=1的圆，它的圆心坐标为(0.5,0)，半径为0.5。它包含了点(0,0)，这个点就是反射零点（负载与特征阻抗相匹配）。一个短路的电路，作为一个负载，可以表示为一个圆心坐标在点(0,0)，半径为1的圆。对于一个开路电路负载来说，用于表示它的圆退化为一个单点（圆心为（1,0），半径为0）。这与最大反射系数（值为1）相对应，这种情况下，整个入射波都会被完全反射回去。当制订史密斯圆图时，应当注意一些预防措施。以下是最重要的几个预防措施：所有的圆都具有相同、唯一的坐标轴交点(1,0)；0Ω的圆，也就是图中最大的那个圆，表示没有电阻（r=0）；表示无穷大电阻的圆会缩小为一个点，该点坐标为(1,0)；图上不应当出现负电阻。若图上出现了一个（或多个）负电阻，我们将要面对振荡条件的可能性。只要对照新的值简单地选取另一个圆，就可以选定另一个电阻值。回到绘图板继续前进，我们使用方程2.15到2.18来将方程2.7进一步推导成另一个参数方程。这个过程将会产生方程2.19。2222rriixxxx（方程2.15）22212irrix（方程2.16）222210rriix（方程2.17）2222211210rriixxx（方程2.18）22211(1)()rixx（方程2.19）再次地，2.19是一个形如222()()xaybR的参数方程，它表示一个在复平面(,)ri上的圆，该圆的圆心坐标为(1,1/x)，半径为1/x。图4b为进一步的细节：图4b。所有位于圆上的点所对应的阻抗都有着相同的阻抗虚部值x。例如，图中x=1的圆，它的圆心坐标为(1,1)，半径为1。所有的圆（x为常数）都包含点(1,0)。与表示实部的圆不同，x既可以是正数，又可以是负数。这就可以解释为何复平面的下半平面会有重复的镜像圆。所有圆的圆心都在一条竖直的直线上，这条直线与坐标横轴的交点为(1,0)。画好图了么？为了完成我们的史密斯圆图，我们要附加两种系列的圆。然后，我们就能够看出一个系列的所有圆与另一个系列的所有圆相交。我们知道阻抗的表示形式为r+jx，因此就能够判定相应的反射系数。唯一需要我们做的就是找出两个圆的交点，这个交点就是对应阻抗的r与x。它也可以往复反向操作同样是可以的。已知反射系数，然后找到两个相交的圆，并读出交点上相应的r与x的值。这个反向操作的过程如下：在史密斯圆图上判定表示阻抗的点；为阻抗找出相应的反射系数（Γ）；通过已有的特征阻抗与Γ，找出阻抗；将阻抗转换为导纳；找出等价的阻抗；为想要的反射系数找出元器件的取值（尤其是匹配网络中的元件，请查看图7）。推测因为史密斯圆图解析技术基本上是一种图形方法，所以它的求解精度直接依赖于图的定义。这儿有一个用史密斯圆图表示射频应用的实例：实例：考虑特征阻抗为50Ω的终端，以及下列的阻抗：110050Zj275100Zj3200Zj4150Z5Z（开路电路）60Z（短路电路）750Z8184900Zj然后，将它们正规化，并绘制史密斯圆图（查看图5）。这些点在图上绘制如下：12Zj21.52Zj34Zj43Z58Z60Z71Z83.6818Zj图5在史密斯圆图上绘制的点现在，可以直接从图5的史密斯圆图上抽取出反射系数Γ。一旦绘制了阻抗点（也就是一个恒定电阻圆与一个恒定电抗圆的交点），就可以简单地从直角坐标的横轴和竖轴上读取点的投影值。这将能给出反射系数的Γr与Γi，它们分别是反射系数的实部与虚部（查看图6）。同样可以在图上把上面的8个实例都表示出来，然后从图6的史密斯圆图中抽出它们对应的Γ值。这些数值为：10.40.2j20.510.4j30.8750.48j40.551617080.960.1j图6反射系数Γ的直接抽取，X与Y轴分别代表实部与虚部。如何使用导纳史密斯圆图是为了考虑阻抗（电阻与电抗）而构建的。一旦构建了史密斯圆图，就可以使用它在串联电路或并联电路中分析这些参数。可以直接用串联的方法添加元件。可以添加新的元件，它们的效果可以简单地通过沿着圆移动到它们各自的取值来决定。但是，将元件并联求和就是另一个问题了。这就需要考虑额外的参数。通常，在导纳的领域中使用并联元件更为简单。众所周知，根据定义，Y=1/Z，且Z=1/Y。导纳可表示为mhos或Ω-1，现在还可以表示为西门子或S。当Z是复数时，Y必须也是个复数。因此，Y=G+jB（方程2.20），其中G被称为元件的“电导”，B被称为元件的“电纳”。小心谨慎地进行练习是非常重要的。通过下面的逻辑假设，我们可以得出结论：G=1/R，B=1/X。然而，这种情况并非如此。如果使用了这个假设，结果可能就不正确了。当使用导纳时，我们必须做的第一件事情就是正规化y=Y/Y0。这么做的结果为y=g+jb。因此，这样对反射系数会造成什么影响呢？通过完成下面的方程推导：0000001/1/11/1/1LLLLLLZZYYYYyZZYYYYy（方程2.21）上述方程证明了G的表达式在符号上与z相反，也就是()()yz。如果我们已知z，我们可以将Γ求相反符号，然后找出离点(0,0)的距离与已知的那个点离(0,0)点的距离相等，但方向相反的点。通过围绕中心点旋转180°，也可以得到相同的结果（查看图7）。图7旋转180°后的结果当然，虽然Z与1/Z确实表示相同的元器件，但是新的点却表现为一个不同的阻抗（新的值在史密斯圆图上具有一个不同的点与一个不同的反射系数值，等等）。因为该绘图是一种阻抗绘图，所以这个会发生。但是，这个新的点实质上是导纳。因此，在