等腰三角形习题(含答案)

等腰三角形1.选择题：等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不对2.如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD，，则1的度数是________。CA1DB233.ABC中，120AACAB，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：BC21DE。AEDOBC124.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。AD1BMCE5.如图，已知：ABC中，ACAB，D是BC上一点，且CADCDBAD，，求BAC的度数。ABCD6.已知：如图，ABC中，ABCDACAB，于D。求证：DCB2BAC。A12DBCE37、已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别是垂足。求证：AE＝AF。AEFBDC8、如图，ABC中，100AACAB，，BD平分ABC。求证：BCBDAD。AD1B2EFC等腰三角形答案：1.B2.分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。解：因为ABC是等边三角形所以60ABCBCAB，因为BCBD，所以BDAB所以23在ABD中，因为60ABC90CBD，所以150ABD，所以152所以75ABC213.分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC的中点。证明：过点A作BC边的垂线AF，垂足为F。4、分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝21∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝21∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点所以∠1＝21∠ABC又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E所以∠ACB＝2∠E即∠1＝∠E所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一）5、分析：题中所要求的BAC在ABC中，但仅靠ACAB是无法求出来的。因此需要考虑DBAD和CADC在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为ACAB，所以CB因为DBAD，所以CDABB；因为CDCA，所以CDACAD（等边对等角）而DABBADC所以BDACBADC22，所以B3BAC又因为180BACCB即180B3CB所以36B即求得108BAC说明1.等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3.此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。6、分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB的关系。证明：过点A作BCAE于E，ACAB所以BAC2121（等腰三角形的三线合一性质）因为90B1又ABCD，所以90CDB所以90B3（直角三角形两锐角互余）所以31（同角的余角相等）即DCB2BAC说明：1.作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；2.对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB的等角等。7、证明：因为ACAB，所以CB又因为ACDFABDE，所以90CFDBED又D是BC的中点，所以DCDB所以)AAS(CFDDEB所以CFBE，所以AFAE说明：证法二：连结AD，通过AEDAFD证明即可8、分析一：从要证明的结论出发，在BC上截取BDBF，只需证明ADCF，考虑到21，想到在BC上截取BABE，连结DE，易得，则有FDAD，只需证明CFDE，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DEDFCF。证明一：在BC上截取BDBFBABE，，连结DE、DF在ABD和EBD中，BDBD21BEBA，，80DEF100ABEDDEAD)SAS(EBDABD，又100AACAB，40)100180(21CABC20402121而BFBD80)20180(21)2180(21BDFBFDADBDFCBFBCFCDFDEADFCDFCFDC404080CDFEFDC40C80DFEDFDE80DFEDEF，即BCBDAD分析二：如图，可以考虑延长BD到E，使DE＝AD，这样BD＋AD=BD+DE=BE，只需证明BE＝BC，由于202，只需证明80BCEEADE1B2FC3456易证6020100180ADBEDC，120BDC，故作BDC的角平分线，则有FBDABD，进而证明DFCDEC，从而可证出80E。证明二：延长BD到E，使DE＝AD，连结CE，作DF平分BDC交BC于F。由证明一知：100A2021，则有12060180BDC603660201001803，，DF平分6054BDC606543，在ABD和FBD中43BDBD21，，)ASA(FBDABD100ABFDFDAD，，而DEDFDEAD，在DEC和DFC中，DCDC65DFDE，，)SAS(DFCDEC80100180BFD180DFCE在BCE中，803202，BCEEBCE，80BCBDADBEBC，说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。