热学第二章课件

普通物理学教程热学•分子作用力与分子作用力势能，（在分子作用力势能的基础上定义）分子碰撞有效直径，固体和液体中分子的振动和固体热膨胀现象，范德瓦耳斯方程及微观解释复习§1.7第二章分子动理学理论的平衡态理论•利用概率论和力学定律讨论气体分子热运动所应遵从的规律§2.2概率论的基本知识•1mol物质含6.02×1023个分子（1cm3水含3.3×1022个水分子），所有分子的运动服从牛顿力学定律，要知道1mol物质中每个分子的运动状态需要求解6.02×1023个联立方程，同时还有知道6.02×1023个分子的初始条件，这是不可能实现的目标。此外，在讨论系统的热力学性质时我们并不关心单个分子的运动状态，而只要知道这些分子的整体表现，这就是它们的统计性质•研究大数目系统的统计性质需要用概率论知识事件可按如下方式分为两种：必然性事件（确定性现象）：在一定条件下一定发生的事件偶然性事件（随机性现象）：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件确定性现象•在标准大气压下，水加热到100摄氏度，就必然会沸腾•向上抛一颗石子必然下落•同性电荷必定相互排斥随机性现象•NBA每场比赛的得分•抓一把米，所抓到的米粒数•每日进入某一商场的人数统计规律:实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，它的总体就呈现出一定的规律性大量同类随机现象所呈现出来的集体规律性统计规律性例1.抛硬币实验例2.伽耳顿板实验伽耳顿板实验实验现象•一个小球落在哪里有偶然性•少量小球的分布每次不同•大量小球的分布近似相同伽耳顿板实验:N=10伽耳顿板实验:N=50伽耳顿板实验:N=100伽耳顿板实验:N=500统计规律有以下特点:•只对大量偶然的事件才有意义•它是不同于个体规律的整体规律（量变到质变）结论(1)统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律(2)统计规律和涨落现象是分不开的定义:某一事件i发生的概率为Pi，当NNPiNilim=—概率定义其中：Ni----事件i发生的次数N----各种事件发生的总次数为某一给定值1.等概率：两事件的发生仅差别于偶然因素时它们发生的概率相等2.概率相加：发生的事件为若干个相互排斥事件之一的概率为各个事件发生的概率之和3.概率归一化：发生的事件为所有相互排斥事件之一的概率为14.概率相乘：相互独立的事件发生的概率为各个事件发生的概率之积概率基本性质srrsppp=321321pppp=jipp=1==iipppii求一群人的平均年龄（ui为某个年龄，Ni为该年龄的人数）：利用概率算平均值当N很大时有==iiiuNNNNuNuNu......212211iiNpNN=lim有如下利用概率计算的平均值表达式=iiiupu求年龄平方u2的平均值：利用概率算平均值22=iiiupu求年龄函数f(u)的平均值：=iiiufpuf)()(平均值运算法则)()()()()]()([)()(ugufugpufpugufpugufiiiiiiiiii===两个函数f(u)，g(u)相加的平均值：平均值运算法则)()()]([)(ufCufpCuCfpuCfiiiiii===函数f(u)与常量C乘积的平均值：平均值运算法则)()()()()]()([)]()([)()(vgufvgpufpvgufppvgufpvgufsssrrrssrsrrssrrsr====其中u，v这两个独立事件的概率满足：srrsppp=两个互为独立事件u，v的f(u)，g(v)相乘的平均值：平均值运算法则均方偏差：2222222222222)()(2)(2)(2])(2[)()()(uuuuuupuupuupupuupupuuuupuupupuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii=======平均值运算法则均方偏差：222)()(uuu=0)(2u所以22)(uu由于相对方均根偏差uuuurms2)()(反映u对于它的平均值偏差的程度，称为涨落，散度或散差概率分布函数NNpNv=lim•速率是连续变化的，讨论一个给定速率的分子数有多少是没有意义的，因为连续变化的一个数据段中有无穷个数据点，这样讨论是没有结果的•微积分的好处是我们可以从容处理连续变化变量的计算。对于连续变化速率，我们讨论在给定速率范围内的分子数，对这些分子数进行计算是可行的•一个系统处于速率从v到v+△v的分子数设为△N，则分子处在这个速率段的概率为•定义p△v与△v之比在△v趋于零时为分子速率在v处的概率密度（或概率密度分布函数），即vpvfvv=0lim)(概率分布函数=21)(vvdvvfNN•所以，系统中分子处于速率v1到v2区间的概率为•而系统中处于速率v1到v2区间内的分子数即为（其中N为系统总分子数）=2121)(vvvvdvvfp•若考虑分子在3个速度方向分量上的分布，则有概率=212121212121),,(,,zzyyxxzzyyxxvvzyxzyxvvvvvvvvvvdvdvdvvvvfp概率分布函数•由概率密度分布函数计算速率平均值=0)(dvvvfv•由概率密度分布函数计算速率平方平均值=022)(dvvfvv•由概率密度分布函数计算速率函数F(v)平均值=0)()()(dvvfvFvF概率分布函数•由概率密度分布函数计算3个速度分量函数F(vx,vy,vz)的平均值=zyxzyxzyxzyxdvdvdvvvvfvvvFvvvF),,(),,(),,(物理062，101，102班抛硬币实验：•自然界存在两类事件：必然性事件和偶然性事件。大量的偶然性事件遵从一定的统计规律。•概率定义•概率的几个基本性质：等概率，概率相加，概率归一化，概率相乘•利用概率计算平均值：某物理量平均值，它的函数的平均值•当变量取连续值时，用概率密度函数取代概率计算平均值•相对均方根偏差复习§2.2§2.3麦克斯韦速率分布对于处于平衡态的理想气体，其分子的运动速率是否有一定的分布？或者说平衡态的理想气体分子速率在不同时间的分布是否一样？分子速率到底怎样分布，跟什么因素有关？麦克斯韦速率分布回答了这个问题，是一个极为重要的科学成果分布的概念气体系统由大量分子组成，各分子的速率通过碰撞不断改变。我们不可能逐个加以描述,只能给出分子数按速率的分布·问题的提出·分布的概念例如学生人数按年龄的分布年龄17~1818~1919~2020~21人数按年龄的分布2000300040001000人数比率按年龄的分布20%30%40%10%速率v1～v2v2～v3…vi～vi+1…分子数按速率的分布ΔN1ΔN2…ΔNi…分子数比率按速率的分布ΔN1/NΔN2/N…ΔNi/N…例如气体分子按速率的分布ΔNi就是分子数按速率的分布，N为总分子数速率分布函数f(v)设某系统处于平衡态下，总分子数为N，则在v～v+dv区间内的分子数所占的比率为dvvfNN)(d=NdvNvfd)(=f(v)称为速率分布函数（概率密度分布函数）意义：分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率气体速率分布的实验测定1.实验装置：2.测量原理：(1)能通过细槽到达检测器D的分子所满足的条件L=v=vL(2)通过改变角速度ω的大小，选择速率v(3)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间==vv2L(4)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比于相应速率下的分子数L=v•实验结果见教材图2.5（p61）麦克斯韦速率分布定律理想气体在平衡态下分子的速率分布函数kTekTf2/22/32)π2(4)(vvv=(麦克斯韦速率分布函数)式中μ为分子质量，T为气体热力学温度，k为玻耳兹曼常量k=1.38×10-23J/K1.麦克斯韦速率分布定律说明(1)从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少是没有意义的(2)麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各组分分别适用(3)在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率分布能很好的符合vvvvvd)π2(π4d)(d2/22/32kTekTfNN==理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+dv区间内的分子数与总分子数的比率为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律2.麦克斯韦速率分布曲线f(v)vO(速率分布曲线)·由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。·在v～v+dv中的分子数与总分子数的比率为···在v1~v2区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2之间的分子数与总分子数的比率NNf=21d)(vvvvv1v2Tvvd)(fNdN=vOT(速率分布曲线)·曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和=01d)(vvf最概然速率vpf(v)出现极大值时,所对应的速率称为最概然速率·pv(归一化条件)f(v)下面求得：2pkTμ=v①μ一定,T越大,这时曲线向右移动②T一定,μ越大,这时曲线向左移动vp越大,vp越小,T1f(v)vOT2(T1)1pv2pvμ1f(v)vOμ2(μ1)1pv2pv由于曲线下的面积不变,由此可见不同气体,不同温度下的速率分布曲线的关系·2pkTμ=v分子速率的三种统计平均值1.平均速率•由概率密度分布函数计算速率平均值=0)(dvvvfvdvevkTdvvfNdNkTv2/22/32)π2(π4)(==•理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+dv区间内的分子数与总分子数的比率为==02/22/302)π2(π4)(dvevkTvdvvvfvkTv求得平均速率mMRTkTv88==J/K1038.1106.0228.312323A===NRk式中Mm为气体的摩尔质量，R为摩尔气体常量21()dfvvvvv思考：是否表示在v1~v2区间内的平均速率？mMRTμkT332==v3.最概然速率2.方均根速率μkTf3)d(022==vvvv0d(d==pvvvv)fmpMRTμkT22==vkTekTf2/22/32)π2(4)(vvv=T(1)一般三种速率用途各不相同讨论分子的碰撞次数用说明v讨论分子的平均平动动能用2v讨论速率分布一般用pvpvv2vf(v)vO···Tpvv2vpvvv2f(v)vO(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系:8kTv=23kTμ=v2pkTμ=v它们分别是:8kTv=23kTμ=v2pkTμ=v8kTv=23kTμ=v气体分子按平动动能的分布规律代入麦克斯韦速率分布定律得到221v=dvdv1=上式是理想气体在平衡态下分子动能在~+d区间内的分子数与总分子数的比率意义：思考：最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?两边微分dekTdvvfdvvfNdNkT/2/12/3)π2(π241)()(===氦气的速率分布曲线如图所示解例求(2)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况mmMRTMRT22212)(2H==pvm/s1041.13=mMRT213)(2H2=vm/s1073.13=2()1000/eHmRTmsM==pv(1)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率知He2H)(vf)m/s(vO1000而23kTμ=v2pkTμ=v有N个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数a(2)速率大于v0和速率小于v0的粒子数解例求032v=a12100=aavv(1)由归一化条件得1d