1.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)

1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？问题2：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？甲乙火车1火车2火车3汽车1汽车2甲乙丙火车3火车2火车1汽车1汽车2从甲地到乙地，有2类办法，第1类办法乘火车，有3种不同的走法，第2类办法乘汽车，有2种不同的走法，那么从甲地到乙地共有3+2=5种不同的走法。从甲地到乙地，需要分成2个步骤，第1步从甲地到丙地有3种不同的走法，第2步从丙地到乙地有2种不同的走法，那么从甲地到乙地共有3×2=6种不同的走法。分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.mnNmn分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.mnNmn例1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？生物学数学变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？1m2m3mn一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.1m2mnm12nNmmm分类加法计数原理例2：设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？解：第1步：从30名男生中选出1人，有30种不同选择第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选法探究：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？1m2m3mn完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有种不同的方法.1m2mnm12nNmmm分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点:2)分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题②不同点：1)分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？解：（1）从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝4＋3＋2＝9（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，可以分成3各步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝4×3×2＝24②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：第1步：从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法第2步：从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6例5、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？解：第1步：选首字符，共有7＋6＝13种选法第2步：选中间字符，共有9种选法第3步，选最后一个字符，共有9种选法根据分步计数原理，最多可以有13×9×9＝1053个不同的名称1.填空：①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有条.2.现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？巩固练习3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有种.5．集合，．从A、B中各取1个元素作为点的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有种不同的推选方法.完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同的方法。分类计数原理（加法原理）分步计数原理（乘法原理）注：每一类办法都能直接完成任务，每一种方法相互独立。注：各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事。小结:小结分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终．要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系．作业:P121,2,3