历年考研数学一真题及答案

历年考研数学一真题1987-2014（经典珍藏版）1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)当x=_____________时,函数2xyx取得极小值.(2)由曲线lnyx与两直线e1yx及0y所围成的平面图形的面积是_____________.(3)与两直线1yt及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_____________.(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)Lxyydxxxdy=_____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα则向量(2,0,0)β在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立.三、(本题满分7分)(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),ufxxyvgxxy求,.uvxx(2)设矩阵A和B满足关系式2,AB=AB其中301110,014A求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()()lim1,()xafxfaxa则在xa处(A)()fx的导数存在,且()0fa(B)()fx取得极大值(C)()fx取得极小值(D)()fx的导数不存在(2)设()fx为已知连续函数0,(),stItftxdx其中0,0,ts则I的值(A)依赖于s和t(B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s(D)依赖于s,不依赖于t(3)设常数0,k则级数21(1)nnknn(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)散敛性与k的取值有关(4)设A为n阶方阵，且A的行列式||0,aA而*A是A的伴随矩阵，则*||A等于(A)a(B)1a(C)1na(D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112nnnxn的收敛域，并求其和函数.七、（本题满分10分）求曲面积分其中是由曲线113()0zyyfxx绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于.2八、（本题满分10分）设函数()fx在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x函数()fx的值都在开区间(0,1)内,且()fx1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x使得().fxx九、（本题满分8分）问,ab为何值时,现线性方程组有唯一解,无解,有无穷多解并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为,p现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球,第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为2211()e,xxfx则X的数学期望为____________,X的方差为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量,XY相互独立,其概率密度函数分别为()Xfx1001x其它,()Yfye0y00yy,求2ZXY的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnnxn的收敛域.(2)设2()e,[()]1xfxfxx且()0x,求()x及其定义域.(3)设为曲面2221xyz的外侧,计算曲面积分333.Ixdydzydzdxzdxdy二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim(1),txxfttx则()ft=_____________.(2)设()fx连续且310(),xftdtx则(7)f=_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]上定义为()fx22x1001xx,则的傅里叶()Fourier级数在1x处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],AαγγγBβγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,AB则行列式AB=_____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx可导且01(),2fx则0x时,()fx在0x处的微分dy是(A)与x等价的无穷小(B)与x同阶的无穷小(C)比x低阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(2)设()yfx是方程240yyy的一个解且00()0,()0,fxfx则函数()fx在点0x处(A)取得极大值(B)取得极小值(C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,xyzRzxyzRxyz则(A)124xdvdv(B)124ydvydv(C)124zdvzdv(D)124xyzdvxyzdv(4)设幂级数1(1)nnnax在1x处收敛,则此级数在2x处(A)条件收敛(B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n维向量组12,,,(3)ssnααα线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,skkk使11220sskkkααα(B)12,,,sααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,sααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,sααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),xyuyfxgyx其中函数f、g具有二阶连续导数,求222.uuxyxxy五、(本题满分8分)设函数()yyx满足微分方程322e,xyyy其图形在点(0,1)处的切线与曲线21yxx在该点处的切线重合,求函数().yyx六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A对质点M的引力大小为2(0kkr为常数,r为A质点与M之间的距离),质点M沿直线22yxx自(2,0)B运动到(0,0),O求在此运动过程中质点A对质点M的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,APBP其中100100000,210,001211BP求5,.AA八、（本题满分8分）已知矩阵20000101xA与20000001yB相似.(1)求x与.y(2)求一个满足1PAPB的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()fx在区间[,]ab上连续,且在(,)ab内有()0,fx证明:在(,)ab内存在唯一的,使曲线()yfx与两直线(),yfxa所围平面图形面积1S是曲线()yfx与两直线(),yfxb所围平面图形面积2S的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________.(3)设随机变量X服从均值为10,均方差为的正态分布,已知则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X的概率密度函数为21(),(1)Xfxx求随机变量31YX的概率密度函数().Yfy1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)已知(3)2,f则0(3)(3)lim2hfhfh=_____________.(2)设()fx是连续函数,且10()2(),fxxftdt则()fx=_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周21,yx则曲线积分22()Lxyds=_____________.(4)向量场divu在点(1,1,0)P处的散度divu=_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001AI则矩阵1(2)AI=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0x时,曲线1sinyxx(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224zxy上点P处的切平面平行于平面2210,xyz则点的坐标是(A)(1,1,2)(B)(1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223cycyy(B)1122123()cycyccy(C)1122123(1)cycyccy(D)1122123(1)cycyccy(4)设函数2(),01,fxxx而1()sin,,nnSxbnxx其中102()sin,1,2,3,,nbfxnxdxn则1()2S等于(A)12(B)14(C)14(D)12(5)设A是n阶矩阵,且A的行列式0,A则A中(A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设(2)(,),zfxygxxy其中函数()ft二阶可导,(,)guv具有连续二阶偏导数,求2.zxy(2)设曲线积分2()cxydxyxdy与路径无关,其中()x具有连续的导数,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)()xydxyxdy的值.(3)计算三重积分(),xzdv其中是由曲面22zxy与221zxy所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan1xfxx展为x的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin()(),xfxxxtftdt其中f为连续函数,求().fx六、（本题满分7分）证明方程0ln1cos2exxxdx在区间(0,)内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式.八、（本题满分8分）假设为n阶可逆矩阵A的一个特征值,证明(1)1为1A的特征值.(2)A为A的伴随矩阵*A的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R的球面的球心在定球面2222(0)xyzaa上,问当R为何值时,球面在定球面内