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1《认识三角形》一、选择题1．一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法判定2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A．2cm，3cm，5cmB．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cmD．3cm，4cm，9cm3．一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么x的取值范围是()A．3＜x＜11B．4＜x＜7C．－3＜x＜11D．x＞34．作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是()5．若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是()A.24°B.34°C.44°D.46°6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°二、填空题7．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.8．如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝________．29．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为________．10．如图，AB∥CD，CE与AB交于点A，BE⊥CE，垂足为E．若∠C=37°，则∠B=.三、解答题11．已知，如图，D是△ABC中BC边延长线上一点，F为AB上一点，直线FD交AC于E，∠DFB＝90°，∠A＝46°，∠D＝50°.求∠ACB的度数．12．如图，CE⊥AF，垂足为E，CE与BF相交于点D，∠F＝40°，∠C＝30°，求∠EDF、∠DBC的度数．13．若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|314．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．15．在△ABC中，∠A＝12∠B＝13∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数．参考答案一、选择题1．答案：A解析：【解答】设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，460°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.【分析】判断三角形的形状，可从角的大小来判断，根据三角形的内角和及角之间的关系列出相关方程式求解即可．2．答案：B解析：【解答】选项A中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.【分析】判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．3．答案：A解析：【解答】∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故选A.【分析】判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．4．答案：D解析：【解答】从三角形的顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．过点C作边AB的垂线段，即作AB边上的高CD，所以作法正确的是D.故选D．【分析】三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．5．答案：B解析：【解答】∵两个锐角和是90°，∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，设一个锐角为x，则另一个锐角为90°-x，得：90°-x-x=22°，得：x=34°．故选B．【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为22°，设其中一个角为x，则另一个为90°-x，即可求出最小的锐角度数．6．答案：D解析：【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°．故选：D．5【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．二、填空题7．答案：7cm解析：【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°．故选：D．【分析】通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差．8．答案：2解析：【解答】∵点D是AC的中点，∴AD＝12AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝12S△ABC＝12×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝13S△ABC＝13×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.【分析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比，进行分析可得答案．9．答案：245解析：【解答】根据“垂线段最短”，当BP⊥AC时，BP有最小值．由△ABC的面积公式可知12AD·BC＝12BP·AC，解得BP＝245.【分析】解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．10．答案：53°解析：【解答】∵AB∥CD，∴∠C=∠BAE=37°，∵BE⊥CE，∴∠BAE=90°，∴∠B=90°-∠BAE=90°-37°=53°．【分析】先根据平行线的性质得出∠BAE的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．三、解答题11．答案：94°．6解析：【解答】在△DFB中，∵∠DFB＝90°，∠D＝50°，∠DFB＋∠D＋∠B＝180°，∴∠B＝40°.在△ABC中，∵∠A＝46°，∠B＝40°，∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝94°.【分析】在△DFB中，根据三角形内角和定理，求得∠B的度数，再在△ABC中求∠ACB的度数即可．12．答案：50°、100°．解析：【解答】∵CE⊥AF，∴∠DEF＝90°，∴∠EDF＝90°－∠F＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C＋∠DBC＋∠CDB＝∠F＋∠DEF＋∠EDF，又∵∠CDB＝∠EDF，∴30°＋∠DBC＝40°＋90°，∴∠DBC＝100°．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF，再根据三角形的内角和定理求出∠C＋∠DBC＝∠F＋∠DEF，然后求解即可．13．答案：见解答过程．解析：【解答】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算．14．答案：100°．解析：【解答】∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－30°－50°＝100°．【分析】根据AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°.再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度数，进而得出∠ADB的度数．15．答案：15°．解析：【解答】∵∠A＝12∠B＝13∠ACB，设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°－30°＝60°.∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE＝12×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°【分析】根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠7ACB，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可．