自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知fx()的定义域为R，且对任意实数x，y满足fxyfxfy()()()，求证：fx()是偶函数。2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.3、函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.4、已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(21)=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),试证明新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5、已知()fx是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的,,abR都满足:()()()fabafbbfa.(1)求(0),(1)ff的值;(2)判断()fx的奇偶性,并证明你的结论;6、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。7、已知函数()fx的定义域为R,对任意实数,mn都有1()()()2fmnfmfn,且1()02f,当12x时,()fx0.(1)求(1)f;(2)判断函数()fx的单调性,并证明.8、函数()fx的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xR,有()fx0;②对任意,xyR,有()[()]yfxyfx;③1()13f.(1)求(0)f的值;(2)求证:()fx在R上是单调减函数;9、已知函数()fx的定义域为R,对任意实数,mn都有()()()fmnfmfn,且当0x时,0()1fx.(1)证明:(0)1,0fx且时,f(x)1;(2)证明:()fx在R上单调递减;10、函数()fx对于x0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()ffxyfxfyfx是减函数。（1）证明：(1)0f；（2）若()(3)2fxfx成立，求x的取值范围。11、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3）求证：f(0)=1；（4）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)1，求x的取值范围。12、已知函数()fx,()gx在R上有定义，对任意的,xyR有()()()()()fxyfxgygxfy且(1)0f（1）求证：()fx为奇函数（2）若(1)(2)ff，求(1)(1)gg的值13、已知函数)(xf对任意实数yx,恒有)()()(yfxfyxf且当x＞0，.2)1(.0)(fxf又(1)判断)(xf的奇偶性；(2)求)(xf在区间[－3,3]上的最大值；(3)解关于x的不等式.4)()(2)(2axfxfaxf14、定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+f（a－b）=2f（a）·f（b）成立，且f()00。（1）求f（0）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性；15、已知定义在R上的函数fx满足：（1）值域为1,1，且当0x时，10fx；（2）对于定义域内任意的实数,xy，均满足：1fmfnfmnfmfn试回答下列问题：（Ⅰ）试求0f的值；（Ⅱ）判断并证明函数fx的单调性；参考答案1、分析：在fxyfxfy()()()中，令xy1，得ffff()()()()11110令xy1，得ffff()()()()11110于是fxfxffxfx()()()()()11故fx()是偶函数2、解析:(1)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1).∴f(1)=0,令x=y=-1,有f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1),∴f(-1)=0.(2)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y),令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1).将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x).∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数.3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0,令x=-y,可得f(-x)=-f(x),设x1､x2∈(-∞,+∞)且x1x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)∵x1x2,∴x1-x20.又∵x0时,f(x)0.∴f(x1-x2)0.即f(x1)-f(x2)0.由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数.(2)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数.∴f(-3)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2.即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2.4、思路分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定21121xxxx的范围是焦点新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆证明新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1)可令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f(21xxx)=f(0)=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴f(x)=－f(－x)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴f(x)为奇函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)先证f(x)在(0，1)上单调递减新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(21121xxxx)∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴12121xxxx0,又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0，∴x2－x11－x2x1,∴012121xxxx1,由题意知f(21121xxxx)0，即f(x2)f(x1)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆∴f(x)在(－1，1)上为减函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5、（1）解：令0ab，则(0)0f令1ab，则(1)2(1)(1)0fff（2）证明：令1ab，则(1)2(1)ff，∵(1)0f，∴(1)0f令,1axb，则()(1)()()fxxffxfx∴()fx是奇函数。6、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴)(1)(xfxf由已知x0时，f(x)10，当x0时，-x0，f(-x)0∴0)(1)(xfxf又x=0时，f(0)=10∴对任意x∈R，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10∴1)()()()()(121212xxfxfxfxfxf∴f(x2)f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20∴0x37、（1）解：令12mn，则1111()2()2222ff1(1)2f（2）任取1212,,xxRxx且,则21211121112111()()[()]()()()()()22fxfxfxxxfxfxxfxfxfxx=211()02fxx∴12()()fxfx∴函数()fx是R上的单调增函数.8、(1)解:∵对任意xR,有()fx0,∴令0,2xy得,2(0)[(0)](0)1fff(2)任取任取1212,,xxRxx且,则令112211,33xpxp,故12pp∵函数()fx的定义域为R,并满足以下条件:①对任意xR,有()fx0;②对任意,xyR,有()[()]yfxyfx;③1()13f∴1212121111()()()()[()][()]3333ppfxfxfpfpff0∴12()()fxfx∴函数()fx是R上的单调减函数.9、解：(1)证明:令0,1mn,则(01)(0)(1)fff∵当0x时,0()1fx,故(1)0f,∴(0)1f,∵当0x时,0()1fx∴当0x时,0x,则(0)1()()()()1()()ffxxfxfxfxfxfx(2)证明:任取1212,,xxRxx且,则2121112111()()[()]()()()()fxfxfxxxfxfxxfxfx211[()1]()fxxfx∵2