2012年湖北省高考数学试卷(理科)

第1页（共20页）2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程26130xx的一个根是()A．32iB．32iC．23iD．23i2．（5分）命题“0RxQð，30xQ”的否定是()A．0RxQð，30xQB．0RxQð，30xQC．0RxQð，30xQD．0RxQð，30xQ3．（5分）已知二次函数()yfx的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A．25B．43C．32D．24．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．83B．3C．103D．65．（5分）设aZ，且013a剟，若201251a能被13整除，则(a)A．0B．1C．11D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且22210abc，22240xyz，20axbycz，则(abcxyz)第2页（共20页）A．14B．13C．12D．347．（5分）定义在(，0)(0，)上的函数()fx，如果对于任意给定的等比数列{}na，{()}nfa仍是等比数列，则称()fx为“保等比数列函数”．现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：①2()fxx；②()2xfx；③()||fxx；④()||fxlnx．则其中是“保等比数列函数”的()fx的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．112B．1C．21D．29．（5分）函数2()cosfxxx在区间[0，4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV．人们还用过一些类似的近似公式．根据3.14159..判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．3169dVB．32dVC．3300157dVD．32111dV二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若()()abcabcab，则角C．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s．第3页（共20页）13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，99.3位回文数有90个：101，111，121，，191，202，，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()nnN位回文数有个．14．（5分）如图，双曲线22221(,0)xyabab的两顶点为1A，2A，虚轴两端点为1B，2B，两焦点为1F，2F．若以12AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e；（Ⅱ）菱形1122FBFB的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12SS．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在O的弦AB上移动，4AB，连接OD，过点D作OD的垂线交第4页（共20页）O于点C，则CD的最大值为．16．（选修44:坐标系与参数方程）:在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线4与曲线21((1)xttyt为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量(cossin,sin)axxx，(cossinbxx，23cos)x，设函数()()fxabxR的图象关于直线x对称，其中，为常数，且1(2，1)（1）求函数()fx的最小正周期；（2）若()yfx的图象经过点(4，0)求函数()fx在区间[0，3]5上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{}na前三项的和为3，前三项的积为8．（1）求等差数列{}na的通项公式；（2）若2a，3a，1a成等比数列，求数列{||}na的前n项和．19．（12分）如图1，45ACB，3BC，过动点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使90BDC（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；（2）当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小．第5页（共20页）20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：)mm对工期的影响如下表：降水量X300X300700X„700900X„900X…工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：()I工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆221xy上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足||||(0,1)DMmDAmm．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．()I求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的0k，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）()I已知函数()(1)(0)rfxrxxrx，其中r为有理数，且01r．求()fx的最小值；()II试用()I的结果证明如下命题：设10a…，20a…，1b，2b为正有理数，若121bb，则12121122bbaaabab„；()III请将()II中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当为正有理数时，有求导公式1()rxx．第6页（共20页）2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程26130xx的一个根是()A．32iB．32iC．23iD．23i【解答】解：方程26130xx中，△3652160，616322ixi，故选：A．2．（5分）命题“0RxQð，30xQ”的否定是()A．0RxQð，30xQB．0RxQð，30xQC．0RxQð，30xQD．0RxQð，30xQ【解答】解：命题“0RxQð，30xQ”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，“0RxQð，30xQ”的否定是0RxQð，30xQ故选：D．3．（5分）已知二次函数()yfx的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()A．25B．43C．32D．2【解答】解：根据函数的图象可知二次函数()yfx图象过点(1,0)，(1,0)，(0,1)从而可知二次函数2()1yfxx它与X轴所围图形的面积为312111114(1)()|(1)(1)3333xxdxx故选：B．第7页（共20页）4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．83B．3C．103D．6【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：211632．故选：B．5．（5分）设aZ，且013a剟，若201251a能被13整除，则(a)A．0B．1C．11D．12【解答】解：2012201251(521)aa020121201122010201120122012201220122012201252525252CCCCCa由于02012120112011201220122012525252CCC含有因数52，故能被52整除要使得能201251a能被13整除，且aZ，013a剟则可得113a12a故选：D．第8页（共20页）6．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且22210abc，22240xyz，20axbycz，则(abcxyz)A．14B．13C．12D．34【解答】解：由柯西不等式得，2222222111111()()()444222abcxyzaxbycz…，当且仅当111222abcxyz时等号成立22210abc，22240xyz，20axbycz，等号成立111222abcxyz12abcxyz故选：C．7．（5分）定义在(，0)(0，)上的函数()fx，如果对于任意给定的等比数列{}na，{()}nfa仍是等比数列，则称()fx为“保等比数列函数”．现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：①2()fxx；②()2xfx；③()||fxx；④()||fxlnx．则其中是“保等比数列函数”的()fx的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④【解答】解：由等比数列性质知221nnnaaa，①222222211()()()()nnnnnnfafaaaafa，故正确；②2212221()()2222()nnnnnaaaaannnfafafa，故不正确；③222211()()||||||()nnnnnnfafaaaafa，故正确；④222211()()||||||()nnnnnnfafalnalnalnafa，故不正确；故选：C．8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()第9页（共20页）A．112B．1C．21D．2【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为214r，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：221142rr，此点取自阴影部分的概率是22211242114rrr．故选：C．9．（5分）函数2()cosfxxx在区间[0，4]上的零点个数为()A．4B．5C．6D．7【解答】解：令()0fx，可得0x或2cos0x0x或22xk，kZ[0x，4]，则2[0x，16]，k可取的值有0，1，2，3，4，方程共有6个解函数2()cosfxxx在区间[0，4]上的零点个数为6个故选：C．10．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其第10页（共20页）直径d的一个近似公式3169dV．人们还用过一些类似的近似公式．根据3.14159..判断，