考研真题【1987-2016考研数学(一)真题答案与解析】1998考研数学一真题及答案解析

考研资料1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)20112limxxxx.(2)设1()(),,zfxyyxyfx具有二阶连续导数,则2zxy.(3)设L为椭圆221,43xy其周长记为a,则22(234)Lxyxyds.(4)设A为n阶矩阵,0A,*A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.若A有特征值,则*2()AE必有特征值.(5)设平面区域D由曲线1yx及直线20,1,yxxe所围成,二维随机变量(,)XY在区域D上服从均匀分布,则(,)XY关于X的边缘概率密度在2x处的值为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)设()fx连续,则220()xdtfxtdtdx()(A)2()xfx(B)2()xfx(C)22()xfx(D)22()xfx(2)函数23()(2)fxxxxx不可导点的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()yyx在任意点x处的增量2,1yxyx且当0x时,是x的高阶无穷小,(0)y,则(1)y等于()(A)2(B)(C)4e(D)4e(4)设矩阵111222333abcabcabc是满秩的,则直线333121212xaybzcaabbcc与直线111232323xaybzcaabbcc()(A)相交于一点(B)重合考研资料(C)平行但不重合(D)异面(5)设AB、是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),PAPBPBAPBA则必有()(A)(|)(|)PABPAB(B)(|)(|)PABPAB(C)()()()PABPAPB(D)()()()PABPAPB三、(本题满分5分)求直线11:111xyzL在平面:210xyz上的投影直线0L的方程,并求0L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,使在右半平面0x上的向量42242(,)2()()Axyxyxyixxyj为某二元函数(,)uxy的梯度,并求(,)uxy.五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)kk.试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=yv.六、(本题满分7分)计算212222(),()axdydzzadxdyxyz其中为下半球面222zaxy的上侧,a为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sinsinsinlim.1112nnnnnnn八、(本题满分5分)考研资料设正项数列na单调减少,且1(1)nnna发散,试问级数11()1nnna是否收敛？并说明理由.九、(本题满分6分)设()yfx是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1)x,使得在区间00,x上以0()fx为高的矩形面积,等于在区间0,1x上以()yfx为曲边的梯形面积.(2)又设()fx在区间(0,1)内可导,且2()(),fxfxx证明(1)中的0x是唯一的.十、(本题满分6分)已知二次曲面方程2222224xayzbxyxzyz,可以经过正交变换xyPz化为椭圆柱面方程2244,求,ab的值和正交矩阵P.十一、(本题满分4分)设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组0kAx有解向量,且10kA,证明：向量组1,,,kAA是线性无关的.十二、(本题满分5分)已知线性方程组1111221,222112222,221122,220,0,()0nnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxIaxaxax的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)TTTnnnnnnbbbbbbbbb,试写出线性方程组考研资料1111221,222112222,221122,220,0,()0nnnnnnnnnbybybybybybyIIbybyby的通解,并说明理由.十三、(本题满分6分)设两个随机变量,XY相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量XY的方差.十四、(本题满分4分)从正态总体2(3.4,6)N中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？附表：标准正态分布表221()2tzzedtz1.281.6451.962.33()z0.9000.9500.9750.990十五、(本题满分4分)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：t分布表{()()}pPtntnpp()ptnn0.950.975351.68962.0301361.68832.0281考研资料1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】14【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式20112112lim112xxxxxxxx220114lim112xxxxxx220211lim4xxx222201112112lim24xxxxx.方法2：采用洛必达法则.原式02112limxxxx洛0112121lim2xxxx2011lim41xxxxx011lim4xxxx0112121lim4xxx洛011lim1212144xxx.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x项,1x22111128xxox,1x22211128xxox,从而原式2222122011111122828limxxxoxxxoxx222122014limxxoxoxx14.(2)【答案】()()()yfxyxyyxy考研资料【分析】因为1()(),,zfxyyxyfx具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求zx或zy均可,但不同的选择可能影响计算的繁简.方法1：先求zx.211()()()()()zyfxyyxyfxyfxyyxyxxxxx,2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().zyfxyfxyyxyxyyxxyfxyxfxyfxyxxyyxyxxxfxyfxyyfxyxyyxyxxyfxyxyyxy方法2：先求zy.11()()()()()()()(),zfxyyxyfxyxxyyxyyyxxfxyxyyxy22()()()()()().zzfxyxyyxyxyyxxyfxyxyyxy方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：21()()1()()()()()()().zfxyyxyxyxyxyxfxyxyxyxxyfxyyxyxyyfxyxyyxy评注：本题中,,f中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x求导时,y视为常数；对y求导时,x视为常数就可以了.(3)【答案】12a【解析】L关于x轴(y轴)对称,2xy关于y(关于x)为奇函数20Lxyds.考研资料又在L上,22222213412(34)1212.43LLxyxyxydsdsa因此,原式222(34)12LLxydsxydsa.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分,lfxyds,设,fxy在l上连续,如果l关于y轴对称,1l为l上0x的部分,则有结论：12,,,,0,llfxydsfxyxfxydsfxyx关于为偶函数,，关于为奇函数.类似地,如果l关于x轴对称,2l为l上0y的部分,则有结论：22,,,,0,llfxydsfxyyfxydsfxyy关于为偶函数,，关于为奇函数.(4)【答案】21A【解析】方法1：设A的对应于特征值的特征向量为,由特征向量的定义有,(0)A.由0A,知0(如果0是A的特征值0A),将上式两端左乘A,得AAAAA,从而有*,AA(即A的特征值为A).将此式两端左乘A,得22**AAAA.又E,所以22*1AAE,故*2()AE的特征值为21A.方法2：由0A,A的特征值0(如果0是A的特征值0A),则1A有特征值考研资料O122exy1yx1(2,)21,A的特征值为A；*2()AE的特征值为21A.【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘1A,得1A.因为0,故0,于是有11A.按特征值定义知1是1A的特征值.若AXX,则()()AkEXAXkXkX.即若是A的特征值,则AkE的特征值是k.2.矩阵A可逆的充要条件是0A,且11AAA.(5)【答案】14【解析】首先求(,)XY的联合概率密度(,)fxy.21(,)|1,0Dxyxeyx,区域D的面积为22111ln2.eeDSdxxx1,(,),(,)20,xyDfxy其他.其次求关于X的边缘概率密度.当1x或2xe时,()0Xfx；当21xe时,1011()(,)22xXfxfxydydyx.故1(2).4Xf二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)【答案】(A)【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换22,uxt2:0:0txux