因式分解的常用方法

1因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式练习：分解因式1、bcacaba22、1yxxy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ayaxyx22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式=)()(22ayaxyx=)())((yxayxyx=))((ayxyx例4、分解因式：2222cbaba解：原式=222)2(cbaba=22)(cba=))((cbacba综合练习：1.abbaba49126222.92234aaa3.ybxbyaxa2222444.222yyzxzxyx5.122222abbbaa6.)1)(1()2(mmyy四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式2直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx进行分解。特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例.已知0＜a≤5，且a为整数，若223xxa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求24bac0而且是一个完全平方数。于是98a为完全平方数，1a（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例7、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx练习7、分解因式：（1）6752xx（2）2732xx（3）317102xx（4）101162yy（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288baba分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)=-8b解：221288baba=)16(8)]16(8[2bbabba=)16)(8(baba练习8、分解因式(1)2223yxyx(2)2286nmnm(3)226baba（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、22672yxyx例10、2322xyyx1-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-23(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=)32)(2(yxyx解：原式=)2)(1(xyxy练习9、分解因式：（1）224715yxyx（2）8622axxa综合练习10、（1）17836xx（2）22151112yxyx（3）10)(3)(2yxyx（4）344)(2baba（5）222265xyxyx（6）2634422nmnmnm（7）3424422yxyxyx（8）2222)(10)(23)(5bababa（9）10364422yyxxyx（10）2222)(2)(11)(12yxyxyx(11.)abcxcbaabcx)(2222五、换元法。例13、分解因式（1）2005)12005(200522xx（2）2)6)(3)(2)(1(xxxxx解：（1）设2005=a，则原式=axaax)1(22=))(1(axax=)2005)(12005(xx（2）型如eabcd的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=222)65)(67(xxxxx设Axx652，则xAxx2672∴原式=2)2(xAxA=222xAxA=2)(xA=22)66(xx练习13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx（2）90)384)(23(22xxxx（3）222222)3(4)5()1(aaa六、添项、拆项、配方法,试根法，短除法。例15、分解因式（1）4323xx解法1——拆项。解法2——添项。原式=33123xx原式=444323xxxx=)1)(1(3)1)(1(2xxxxx=)44()43(2xxxx=)331)(1(2xxxx=)1(4)4)(1(xxxx=)44)(1(2xxx=)44)(1(2xxx=2)2)(1(xx=2)2)(1(xx（2）3369xxx解：原式=)1()1()1(369xxx=)1()1)(1()1)(1(333363xxxxxx4=)111)(1(3363xxxx=)32)(1)(1(362xxxxx练习15、分解因式（1）893xx（2）4224)1()1()1(xxx（3）1724xx（4）22412aaxxx（5）444)(yxyx（6）444222222222cbacbcaba七、待定系数法或双十字相乘法。例16、分解因式613622yxyxyx分析：原式的前3项226yxyx可以分为)2)(3(yxyx，则原多项式必定可分为)2)(3(nyxmyx解：设613622yxyxyx=)2)(3(nyxmyx∵)2)(3(nyxmyx=mnymnxnmyxyx)23()(622∴613622yxyxyx=mnymnxnmyxyx)23()(622对比左右两边相同项的系数可得613231mnmnnm，解得32nm∴原式=)32)(23(yxyx练习17、（1）分解因式2910322yxyxyx（2）分解因式6752322yxyxyx51在ABC中，三边a,b,c满足abcabbc222166100求证：acb22已知：xxxx12133，则__________3.已知：xyxyxy6133，，求：的值。4.求证：nn35是6的倍数。（其中n为整数）5.已知：a、b、c为三角形的三边，比较abcab222224和的大小。6若a－b=2,a－c=21,求(b－c)2＋3(b－c)＋49的值。7已知,01200520042xxxx则.________2006x8、计算)1011)(911()311)(211(2222的值是（）A、21B、2011.,101.,201DC