Mathematica使用说明

1Mathematica入门一、引言Mathematica是美国Wolfram公司开发的一个功能强大的数学软件系统,它主要包括:数值计算、符号计算、图形功能和程序设计.本指导书力图在不大的篇幅中给读者提供该系统的一个简要的介绍.指导书是按Mathematica4.0版本编写的,但是也适用于Mathematica的任何其它图形界面的版本.Mathematica在数值计算、符号运算和图形表示等方面都是强有力的工具,并且其命令句法惊人地一致,这个特性使得Mathematica很容易使用.不必担心你还不太熟悉计算机.本入门将带你迅速了解Mathematica的基本使用过程,但在下面的介绍中,我们假定读者已经知道如何安装及启动Mathematica.此外,始终要牢记的几点是:Mathematica是一个敏感的软件.所有的Mathematica函数都以大写字母开头;圆括号(),花括号{},方括号[]都有特殊用途,应特别注意;句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！”等都有特殊用途,应特别注意;用主键盘区的组合键Shfit+Enter或数字键盘中的Enter键执行命令.二、一般介绍1.输入与输出例1计算1+1:在打开的命令窗口中输入1+2+3并按组合键Shfit+Enter执行上述命令,则屏幕上将显示:In[1]:=1+2+3Out[1]=6这里In[1]:=表示第一个输入,Out[1]=表示第一个输出,即计算结果.2.数学常数Pi表示圆周率;E表示无理数e;I表示虚数单位i;Degree表示/180;Infinity表示无穷大.注:Pi,Degree,Infinity的第一个字母必须大写,其后面的字母必须小写.3.算术运算Mathematica中用“+”、“-”、“*”、“/”和“^”分别表示算术运算中的加、减、乘、除和乘方.例2计算213121494891100.输入100^(1/4)*(1/9)^(-1/2)+8^(-1/3)*(4/9)^(1/2)*Pi则输出3103这是准确值.如果要求近似值,再输入N[%]则输出10.543这里%表示上一次输出的结果,命令N[%]表示对上一次的结果取近似值.还用%%表示上上次输出的结果,用%6表示Out[6]的输出结果.2注:关于乘号*,Mathematica常用空格来代替.例如,xyz则表示x*y*z,而xyz表示字符串,Mathematica将它理解为一个变量名.常数与字符之间的乘号或空格可以省略.4.代数运算例3分解因式232xx输入Factor[x^2+3x+2]输出)x2)(x1(例4展开因式)2)(1(xx输入Expand[(1+x)(2+x)]输出2xx32例5通分3122xx输入Together[1/(x+3)+2/(x+2)]输出)x3)(x2(x38例6将表达式)3)(2(38xxx展开成部分分式输入Apart[(8+3x)/((2+x)(3+x))]输出3x12x2例7化简表达式)3)(1()2)(1(xxxx输入Simplify[(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)]输出2x2x75三、函数1.内部函数Mathematica系统内部定义了许多函数,并且常用英文全名作为函数名,所有函数名的第一个字母都必须大写,后面的字母必须小写.当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第一个字母都必须大写,其余的字母必须小写.Mathematica函数(命令)的基本格式为函数名[表达式,选项]下面列举了一些常用函数:算术平方根xSqrt[x]指数函数xeExp[x]对数函数xalogLog[a,x]对数函数xlnLog[x]三角函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x]反三角函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x],ArcCot[x],AsrcSec[x],ArcCsc[x]双曲函数Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],反双曲函数ArcSinh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x]四舍五入函数Round[x](*取最接近x的整数*)取整函数Floor[x](*取不超过x的最大整数*)取模Mod[m,n](*求m/n的模*)3取绝对值函数Abs[x]n的阶乘n!符号函数Sign[x]取近似值N[x,n](*取x的有n位有效数字的近似值,当n缺省时,n的默认值为6*)例8求的有6位和20位有效数字的近似值.输入N[Pi]输出3.14159输入N[Pi,20]输出3.1415926535897932285注:第一个输入语句也常用另一种形式:输入Pi//N输出3.14159例9计算函数值(1)输入Sin[Pi/3]输出23(2)输入ArcSin[.45]输出0.466765(3)输入Round[-1.52]输出-2例10计算表达式)6.0arctan(226sin2ln1132e的值输入1/(1+Log[2])*Sin[Pi/6]-Exp[-2]/(2+2^(2/3))*ArcTan[.6]输出0.2749212.自定义函数在Mathematica系统内,由字母开头的字母数字串都可用作变量名,但要注意其中不能包含空格或标点符号.变量的赋值有两种方式.立即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“:=”.定义函数使用的符号是延迟赋值运算符“:=”.例11定义函数12)(23xxxf,并计算)2(f,)4(f,)6(f.输入Clear[f,x];(*清除对变量f原先的赋值*)f[x_]:=x^3+2*x^2+1;(*定义函数的表达式*)f[2](*求)2(f的值*)f[x]/.{x-4}(*求)4(f的值,另一种方法*)x=6;(*给变量x立即赋值6*)f[x](*求)6(f的值,又一种方法*)输出1797289注:本例1、2、5行的结尾有“;”,它表示这些语句的输出结果不在屏幕上显示.四、解方程在Mathematica系统内,方程中的等号用符号“==”表示.最基本的求解方程的命令为Solve[eqns,vars]4它表示对系数按常规约定求出方程(组)的全部解,其中eqns表示方程(组),vars表示所求未知变量.例12解方程0232xx输入Solve[x^2+3x+2==0,x]输出}}1x{},2x{{例13解方程组10dycxbyax输入Solve[{ax+by==0,cx+dy==1},{x,y}]输出adbcay,adbcbx例14解无理方程axx11输入Solve[Sqrt[x-1]+Sqrt[x+1]==a,x]输出24a4a4x很多方程是根本不能求出准确解的,此时应转而求其近似解.求方程的近似解的方法有两种,一种是在方程组的系数中使用小数,这样所求的解即为方程的近似解;另一种是利用下列专门用于求方程(组)数值解的命令:NSolve[eqns,vars](*求代数方程(组)的全部数值解*)FindRoot[eqns,{x,x0},{y,y0},]后一个命令表示从点),,(00yx出发找方程(组)的一个近似解,这时常常需要利用图像法先大致确定所求根的范围,是大致在什么点的附近.例15求方程013x的近似解输入NSolve[x^3-1==0,x]输出{{x-0.5-0.866025ii},{x-0.5+0.866025ii},{x1.}}输入FindRoot[x^3-1==0,{x,.5}]输出{x1.}下面再介绍一个很有用的命令:Eliminate[eqns,elims](*从一组等式中消去变量(组)elims*)例16从方程组11)1()1(1222222yxzyxzyx消去未知数y、z.输入Eliminate[{x^2+y^2+z^2==1,x^2+(y-1)^2+(z-1)^2==1,x+y==1},{y,z}]输出0x3x22注:上面这个输入语句为多行语句,它可以像上面例子中那样在行尾处有逗号的地方将行与行隔开,来迫使Mathematica从前一行继续到下一行在执行该语句.有时候多行语句的意义不太明确,通常发生在其中有一行本身就是可执行的语句的情形,此时可在该行尾放一个继续的记号“\”,来迫使Mathematica继续到下一行再执行该语句.五、保存与退出5Mathematica很容易保存Notebook中显示的内容,打开位于窗口第一行的File菜单,点击Save后得到保存文件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为*.nb文件.如果只想保存全部输入的命令,而不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜单Kernel,选中DeleteAllOutput,然后再执行保存命令.而退出Mathematica与退出Word的操作是一样的.六、查询与帮助查询某个函数(命令)的基本功能,键入“?函数名”,想要了解更多一些,键入“??函数名”,例如,输入?Plot则输出Plot[f,{x,xmin,xmax}]generatesaplotoffasafunctionofxfromxmintoxmax.Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]plotsseveralfunctionsfi它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使用方法.例17在区间]1,1[上作出抛物线2xy的图形.输入Plot[x^2,{x,-1,1}]则输出-1-0.50.510.20.40.60.81例18在区间]2,0[上作出xysin与xycos的图形.输入Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2Pi}]则输出123456-1-0.50.51如果输入??Plot则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.此外,Mathematica的Help菜单中提供了大量的帮助信息,其中Help菜单中的第一项HelpBrowser(帮助游览器)是常用的查询工具,读者若想了解更多的使用信息,则应自己通过Help菜单去学习.6空间图形的画法(基础实验)实验目的掌握用Mathematica绘制空间曲面和曲线的方法.熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形特征,通过作图和观察,提高空间想像能力.深入理解二次曲面方程及其图形.基本命令1.空间直角坐标系中作三维图形的命令Plot3D命令Plot3D主要用于绘制二元函数),(yxfz的图形.该命令的基本格式为Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2},选项]其中f[x,y]是yx,的二元函数,x1,x2表示x的作图范围,y1,y2表示y的作图范围.例如,输入Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]则输出函数22yxz在区域22,22yx上的图形(图2.1)-2-1012-2-101202468-2-1012图2.1与Plot命令类似,Plot3D有许多选项.其中常用的如PlotPoints和ViewPoint.PlotPoints的用法与以前相同.由于其默认值为PlotPoints-15,常常需要增加一些点以使曲面更加精致,可能要用更多的时间才能完成作图.选项ViewPoint用于选择图形的视点(视角),其默认值为ViewPoint-{1.3,-2.4,2.0},需要时可以改变视点.2.利用参数方程作空间曲面或曲线的命令ParametricPlot3D用于作曲面时,该命令的基本格式为ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,u1,u2},{v,v1,v2},选项]其中x[u,v],y[u,v],z[u,v]是曲面的参数方程表示式.u1,u2是作图时参数u的范围,v1,v2是参数v的范围.例如，对前面的旋转抛物面,输入Param