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-1-11．3．3一次函数与二元一次方程(组)同步辅导重点知识讲解1．二元一次方程与一次函数的关系(1)任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式，即每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．(2)直线y=kx+b的每一点的坐标均为这个二元一次方程的解．2．二元一次方程组与一次函数的关系(1)二元一次方程组中的每个方程可看作函数解析式．(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数的交点坐标．经验与方法技巧1．利用一次函数解二元一次方程组的步骤(1)将方程组中的每个方程转化成一次函数y=kx+b的形式．(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像．(3)利用图像的直观性确定交点坐标．2．求两个一次函数的交点坐标的方法解由两个一次函数的解析式组成的二元一次方程组，就能准确地求出交点坐标．3．两个一次函数图像交点的作用借助图像的直观性，利用交点坐标，可以解决有关比较、决策等生活实际问题．典型例题例1在直角坐标系中作出二元一次方程x-y=2的图像．解析x0-2y20图像如图所示．评注由于x-y=2的图像是一条直线，因此只要作出这个图像上的两个点，就可以画出这条直线；也可先将其化为y=kx+b的形式，再作出图像．例2利用图像法解二元一次方程组：32,2.xyxy解析x01y=3x-2-21y=2-x21分别画出两条直线，如图，两条直线的交点坐标为(1，1)，-2-∴方程组的解为1,1.xy教材例题习题的变形题例(P64第8题)从甲地向乙地打长途电话，通话3min以内收费2．4元，3min后每增加通话时间1min加收1元，求通话费用y(元)与通话时间x(min，x为正整数)之间的关系式，有10元钱时，打一次电话最多可以打多长时间?解析关系式为y=2．4+(x-3)，即y=x-0．6．方法一∵有10元钱，∴打一次电话的费用最多是10元．当y=10时，10=x-0．6，x=10．6，∴x不会超过10．6，又x为正整数，∴x最大就是10．∴10元钱打一次电话最多可以打10min．方法二因有10元钱，故打一次电话的费用不会超过10元，即x-0．610，解得x10．6．又∵x为正整数，∴x最大为10．所以10元钱打一次电话最多可以打10min．评注注意方法的多样性，方法一利用一次函数与二元一次方程的关系，方法二利用一次函数与一元一次不等式的关系．学科内综合题例1已知一次函数y=32x+m和y=-12x+n的图像都经过点A(-2，0)，则点A可看成哪个方程组的解?解析将x=-2，y=0代入y=32x+m，得0=-3+m，m=3，∴y=32x+3．将x=-2，y=0代入y=-12x+n，得0=1+n，n=-1，∴y=-12x+1．∴点A(-2，0)可看成二元一次方程组33,2112yxyx的解．评注根据一次函数与二元一次方程组的关系，交点坐标就是由函数解析式组成的-3-二元一次方程组的解．例2已知四条直线5x+by=1，3x+y=1，ax+5y=4，2x-3y=8相交于一点，求a，b的值．解析解方程组31,238xyxy得1,2.xy将x=1，y=-2代入5x+by=1，得5-2b=1，解得b=2．将x=1，y=-2代入ax+5y=14，得a-10=4，解得a=14．评注四条直线的交点坐标是这四个二元一次方程的公共解．综合应用题例某图书馆开展两种方式的阅览业务，一种使用会员卡，另一种使用阅览卡，费用y(元)与阅览时间x(d)之间的关系如图所示．(1)分别写出阅览卡的费用y阅(元)和用会员卡的费用y会(元)与阅览时间x(d)之间的函数关系式．(2)对于这两种阅览方式，如果只阅览一天，费用分别是多少元?(3)若两种卡的使用期限均为一年，则在这一年中，如何选取这两种阅览方式比较合算?解析(1)设y阅=kx，把x=100，y=50代入，得50=100k，k=12，∴y阅=12x．设y会=kx+20，把x=100，y=50代入，得50=100k+20，k=0．3，∴y会=0．3x+20．(2)当x=1时，y阅=12，y会=20+0．3=20．3．(3)由图像可以看出：当0x100时，y会y阅，因而选阅览卡合算．当x=100时，阅览卡和会员卡没有区别．当x100时，y阅y会，因而选择会员卡合算．中考题例1(2004年广东卷)已知一次函数y=kx+b，当x=-4时，y的值为9；当x=2时，y的值为-3．(1)求这个函数的解析式．-4-(2)在直角坐标系内画出这个函数的图像．解析(1)把4,9.xy2,3.xy分别代入y=kx+b，得94,32,kbkb解得2,1.kb∴这个函数的解析式为y=-2x+1．(2)当x=0时，y=1；当x=1时，y=-1．所以此函数的图像是经过(0，1)，(1，-1)两点的直线，如图11-3-16．评注①确定一次函数的关系式时，需两个点的坐标，即两对x，y的值，通过解二元一次方程组确定k，b的值．②画图像时，任选取满足关系式的两个点，尽可能选取其坐标为整数值，且绝对值较小的点．例2(2004年黑龙江卷)图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y(km)随时间x(min)变化的图像(全程)．根据图像回答下列问题：(1)比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇?(2)这次比赛全程是多少千米?(3)比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇?解析由图像可以看出甲、乙二人的图像有两个交点，即相交两次．(1)当15≤x≤33时，设AB的解析式为y=kx+b，把(15，5)，(33，7)分别代入，得1111515,733,kbkb解得111,9103kb-5-∴AB的解析式为y=19x+103.当y=6时，有6=19x+103，解得x=24．所以比赛开始24min时，两人第一次相遇．(2)设OD的解析式为y=kx，把(24，6)代入，得6=24k，解得k=14,∴OD的解析式为y=14x．当x=48时，y=14×48=12，∴比赛全程为12km．(3)当33≤x≤43时，设BC的解析式为y=k2x+b2．把(33，7)，(43，12)分别代入，得2222337,4312,kbkb解得221,219.2kb∴BC的解析式为y=12x-192.解方程组1,4119.22yxyx得38,19.2xy∴比赛开始后38min两人第二次相遇．评注在本题中，两人相遇在图像上直观地体现为交点．共有两个交点，故有两次相遇．交点的坐标是两个函数解析式组成的二元一次方程组的解是本题的入手点，而求每一段函数的关系式又是解决本题的关键．-6-11．3．3一次函数与二元一次方程(组)同步练习［要点再现］一般地，每个二元一次方程组都对应两个，于是也对应两条。从“数”的角度看，解方程组相当于；从“形”的角度看，解方程组相当于。因此，一次函数与二元一次方程（组）有密切的联系。［基础闯关］1．请在同一直角坐标系内作出一次函数y=-2x+3与正比例函数y=2x的图象，直线y=-2x+3与直线y=2x的交点坐标是_______，方程组232yxyx的解是______，你能从中“悟”出些什么？2．图2中的两条直线1l、2l的交点坐标是，可以看作方程组_____的解。(第2题)(第3题)(第4题)3．图中两条直线1l和2l和交点坐标可以看作下列方程组中（）的解。（A）212xyxy（B）533xyxy（C）112xyxy（D）513xyxy4.如图,直线42xy和直线13xy交于一点,则方程组1342yxyx的解是l2l1xyO12312345412l14321321Oyx-1(1,-2)Y10x-4-7-()A.x=0,y=1;B.x=0,y=-2;C.x=1,y=-2D.x=2,y=04．利用函数图象解二元一次方程组5332yxyx［能力提升］1．如图所示，甲、乙两辆汽车同时从相距360千米的A，B两地相向而行，s（千米）表示汽车与A地的距离，t（分）表示汽车行驶时间，1l与2l表示两辆汽车的s与t的关系。（1）1l表示哪辆汽车到A地的距离与行驶时间的关系？（2）汽车乙的速度是多少？（3）2小时后，甲，乙两辆汽车相距多少千米？（4）行驶多长时间后，甲、乙两辆汽车相遇？（5）甲、乙相遇时，距A地多远？l1l22403002401801206018012060O360s/千米t/分-8-［考题追踪］（2002四川眉山）图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡。使用这两种租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示。（1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数解析式；（2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？（3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选取这两种租书方式比较划算？Oy（元）x（天）1002050租书卡会员卡-9-答案:［要点再现］一次函数，一次函数图象。化二元一次方程组为一元一次方程；找出两个一次函数图象的交点［基础闯关］1.33,42，(2，1)，752132yxyx3.B4C5.解：作出函数1322yx和35yx的图象，他们的交点坐标就是所求。二元一次方程组5332yxyx的解为12xy（图略）［能力提升］1．解：（1）1l表示乙汽车到A地的距离与行驶时间的关系。（2）汽车乙的速度是84千米/小时。（3）2小时后，甲，乙两辆汽车相距72千米。（4）行驶2.5小时后，甲、乙两辆汽车相遇。（5）甲、乙相遇时，距A地150千米。［考题追踪］解：(1)用租书卡租书：200.3yx用会员卡租书：0.5yx（2）两种租书方式每天租书的收费分别是用租书卡租书每天0.3元，用会员卡租书每天0.5元。（3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中应选取用租书卡租书划算。